Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum n4^n x^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

O próximo passo é aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite do termo geral da série quando tende ao infinito, o que é fundamental para determinar a convergência.

Passo 3

Vamos calcular o limite L = limn to infty | an+1an | usando o Teste da Razão:
onde .

Passo 4

Substituindo an+1an = n+14^n+1 x^n+1n4^n x^n = n+1n cdot x4 e na expressão:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty n+1n cdot |x|4 = 1 cdot |x|4 = |x|4 tende ao infinito:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que |x|4 < 1 implies |x| < 4 :
Isso significa que o raio de convergência é .

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Precisamos verificar os limites e .

Passo 8

Para sum n4^n cdot 4^n = sum n , a série se torna:
Esta série diverge porque a soma dos números naturais não converge.

Passo 9

Para sum n4^n cdot (-4)^n = sum n (-1)^n , a série se torna:
Esta série também diverge, pois os termos não tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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