Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 2
O próximo passo é aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite do termo geral da série quando tende ao infinito, o que é fundamental para determinar a convergência.
Passo 3
Vamos calcular o limite usando o Teste da Razão:
onde .
Passo 4
Substituindo an+1an = n+14^n+1 x^n+1n4^n x^n = n+1n cdot x4 e na expressão:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty n+1n cdot |x|4 = 1 cdot |x|4 = |x|4 tende ao infinito:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que |x|4 < 1 implies |x| < 4 :
Isso significa que o raio de convergência é .
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Precisamos verificar os limites e .
Passo 8
Para sum n4^n cdot 4^n = sum n , a série se torna:
Esta série diverge porque a soma dos números naturais não converge.
Passo 9
Para sum n4^n cdot (-4)^n = sum n (-1)^n , a série se torna:
Esta série também diverge, pois os termos não tendem a zero.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .