Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

O próximo passo é aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite do termo geral da série quando tende ao infinito, o que é fundamental para determinar a convergência.

Passo 3

Vamos calcular o limite usando o Teste da Razão:
onde .

Passo 4

Substituindo e na expressão:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que o raio de convergência é .

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Precisamos verificar os limites e .

Passo 8

Para , a série se torna:
Esta série diverge porque a soma dos números naturais não converge.

Passo 9

Para , a série se torna:
Esta série também diverge, pois os termos não tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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