Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum (-1)^n n2^n x^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série do tipo e precisamos descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Vamos começar identificando os termos da série. A série geral pode ser escrita como:
sum an x^n
onde
an = (-1)^n n2^n
Para encontrar o raio de convergência limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1 (n+1)2^n+1 cdot 2^n(-1)^n n | , usamos o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de = limn to infty n+12n = 12 a série converge.
Aplicando o teste da razão:
12 |x| < 1 implies |x| < 2
Simplificando:
A condição de convergência pelo teste da razão é:
Portanto, o raio de convergência é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de sum (-1)^n n2^n cdot 2^n = sum (-1)^n n para os quais a série converge.
Sabemos que a série converge para sum (-1)^n n2^n cdot (-2)^n = sum n ( -22 )^n = sum n (-1)^n . Precisamos verificar os pontos e para ver se a série também converge nesses extremos.
  1. Para :
Essa série é a soma de termos alternados . Porém, os termos não tendem a zero quando aumenta ( ), então a série diverge nesse ponto.
  1. Para :
Novamente, temos uma série alternada com termos , e os termos não tendem a zero ( ). Portanto, a série diverge também nesse ponto.

Resposta

A série converge para o intervalo e o raio de convergência é .

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