Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série do tipo e precisamos descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o teste da razão.
Passo 2
Vamos começar identificando os termos da série. A série geral pode ser escrita como:
onde
Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Aplicando o teste da razão:
Simplificando:
A condição de convergência pelo teste da razão é:
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 3
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de sum (-1)^n n2^n cdot 2^n = sum (-1)^n n para os quais a série converge.
Sabemos que a série converge para sum (-1)^n n2^n cdot (-2)^n = sum n ( -22 )^n = sum n (-1)^n . Precisamos verificar os pontos e para ver se a série também converge nesses extremos.
Para :
Essa série é a soma de termos alternados . Porém, os termos não tendem a zero quando aumenta (), então a série diverge nesse ponto.
Para :
Novamente, temos uma série alternada com termos , e os termos não tendem a zero (). Portanto, a série diverge também nesse ponto.
Resposta
A série converge para o intervalo e o raio de convergência é .