Decida sobre a convergência das séries, justificando: sumn=1^infty 1n^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty 1n^2-1 converge ou não. Isso está dentro do assunto de Séries Infinita e vamos precisar usar o Teste da Comparação para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos 1n^2-1. Podemos simplificar isso para facilitar a comparação com uma série que já conhecemos. Observe que:
n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)
Então,
1n^2-1 = 1(n - 1)(n + 1)

Passo 3

Agora, vamos comparar 1n^2-1 com outra série que sabemos se converge ou diverge. A série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2, e sabemos que ela converge porque p > 1.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação. Precisamos mostrar que para todos os termos a partir de um certo n, 1n^2-1 é menor ou igual a 2n^2. Para n >= 2:
n^2 - 1 >= n^22 (porque para n >= 2, , n^2 -1 >= n^22)
Portanto,
1n^2-1 <= 2n^2

Passo 5

Como sumn=1^infty 2n^2 é uma série convergente (é basicamente a série p com p=2 multiplicada por 2), pelo Teste da Comparação, a série original sumn=1^infty 1n^2-1 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^2-1 converge.

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