Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Passo 1
O exercício pede para a gente decidir se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas da matéria de Cálculo, especificamente o Teste da Série Alternada, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a série é mesmo alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, ficam positivos e negativos de forma intercalada. No nosso caso, temos
, que faz os termos alternarem os sinais conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
- Os termos sem o fator alternado, chamados de
, devem ser decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito deve ser igual a zero.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição. Aqui,
. Observamos que à medida que
aumenta,
diminui. Então, os termos são de fato decrescentes.
Passo 5
Agora, vamos ver a segunda condição. Calculamos o limite de
quando
vai para o infinito:
Isso confirma que o limite é zero.
Resposta
Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, a série
converge.
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
(d) , onde
, e
.
(d)
Sejam
um campo vetorial contínuo no aberto
e
duas curvas de classe
. Mostre que se
é obtida de
por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se
, com
de classe
,
e
, para todo
), então
.
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.