Decida sobre a convergência das séries, justificando: .

Passo 1

O exercício pede para a gente decidir se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas da matéria de Cálculo, especificamente o Teste da Série Alternada, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a série é mesmo alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, ficam positivos e negativos de forma intercalada. No nosso caso, temos , que faz os termos alternarem os sinais conforme aumenta.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos sem o fator alternado, chamados de , devem ser decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito deve ser igual a zero.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Aqui, . Observamos que à medida que aumenta, diminui. Então, os termos são de fato decrescentes.

Passo 5

Agora, vamos ver a segunda condição. Calculamos o limite de quando vai para o infinito:
Isso confirma que o limite é zero.

Resposta

Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, a série converge.

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Seja um campo vetorial contínuo em . Justifique as igualdades.
(d) , onde , e .
Sejam um campo vetorial contínuo no aberto e duas curvas de classe . Mostre que se é obtida de por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se , com de classe , e , para todo ), então .
Decida sobre a convergência das séries, justificando: .
Decida sobre a convergência das séries, justificando: .