Decida sobre a convergência das séries, justificando: sumn=1^infty (-1)^nn.

Passo 1

O exercício pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty (-1)^nn converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas da matéria de Cálculo, especificamente o Teste da Série Alternada, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a série é mesmo alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, ficam positivos e negativos de forma intercalada. No nosso caso, temos (-1)^n, que faz os termos alternarem os sinais conforme n aumenta.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos sem o fator alternado, chamados de bn, devem ser decrescentes.
  2. O limite de bn quando n tende ao infinito deve ser igual a zero.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Aqui, bn = 1n. Observamos que à medida que n aumenta, 1n diminui. Então, os termos são de fato decrescentes.

Passo 5

Agora, vamos ver a segunda condição. Calculamos o limite de bn quando n vai para o infinito:
limn to infty 1n = 0
Isso confirma que o limite é zero.

Resposta

Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, a série sumn=1^infty (-1)^nn converge.

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