Decida sobre a convergência das séries, justificando: sumn=1^infty arctan nn^2.

Passo 1

Beleza, a gente tem que decidir se a série sumn=1^infty arctan nn^2 converge ou não. Isso envolve entender sobre séries infinitas e usar alguns testes de convergência para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: arctan nn^2. Precisamos entender como esse termo se comporta conforme n cresce. A função arctan n é a arco-tangente de n, e sabemos que à medida que n aumenta, arctan n se aproxima de pi2.

Passo 3

Como arctan n tende para pi2 quando n vai para o infinito, podemos dizer que para valores grandes de n, arctan n approx pi2. Então, o termo da série fica parecido com pi/2n^2.

Passo 4

Agora, vamos comparar a nossa série com a série sumn=1^infty 1n^2. Sabemos que essa última é uma série p com p=2 e, como p>1, ela converge (isso é um resultado conhecido chamado Teste da Série p).

Passo 5

Como arctan nn^2 <= pi/2n^2 para todo n, e a série sumn=1^infty pi/2n^2 converge, a gente pode concluir pelo Teste da Comparação que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty arctan nn^2 é convergente.

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