Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que decidir se a série
converge ou não. Isso envolve entender sobre séries infinitas e usar alguns testes de convergência para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Precisamos entender como esse termo se comporta conforme
cresce. A função
é a arco-tangente de
, e sabemos que à medida que
aumenta,
se aproxima de
.
Passo 3
Como
tende para
quando
vai para o infinito, podemos dizer que para valores grandes de
,
. Então, o termo da série fica parecido com
.
Passo 4
Agora, vamos comparar a nossa série com a série
. Sabemos que essa última é uma série p com
e, como
, ela converge (isso é um resultado conhecido chamado Teste da Série p).
Passo 5
Como
para todo
, e a série
converge, a gente pode concluir pelo Teste da Comparação que a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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