Decida sobre a convergência das séries, justificando: .

Passo 1

Beleza, a gente tem que decidir se a série converge ou não. Isso envolve entender sobre séries infinitas e usar alguns testes de convergência para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Precisamos entender como esse termo se comporta conforme cresce. A função é a arco-tangente de , e sabemos que à medida que aumenta, se aproxima de .

Passo 3

Como tende para quando vai para o infinito, podemos dizer que para valores grandes de , . Então, o termo da série fica parecido com .

Passo 4

Agora, vamos comparar a nossa série com a série . Sabemos que essa última é uma série p com e, como , ela converge (isso é um resultado conhecido chamado Teste da Série p).

Passo 5

Como para todo , e a série converge, a gente pode concluir pelo Teste da Comparação que a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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