Decida sobre a convergência das séries, justificando: sumn=1^infty e^nn^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos decidir se a série sumn=1^infty e^nn^2 converge ou não. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência que estudamos em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir. Basicamente, uma série é a soma infinita de termos, e ela converge se essa soma se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais e mais termos.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da nossa série: e^nn^2. Aqui, e^n cresce muito rápido, exponencialmente, enquanto n^2 cresce de forma polinomial. Isso significa que, à medida que n aumenta, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.

Passo 4

Para determinar a convergência, podemos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série, quando n tende ao infinito, não for zero, então a série diverge.

Passo 5

Vamos calcular o limite dos termos da série:
limn to infty e^nn^2
Sabemos que e^n cresce mais rápido que qualquer potência de n, então esse limite é infinito:
limn to infty e^nn^2 = infty

Passo 6

Como o limite dos termos não é zero (na verdade, é infinito), o Teste da Divergência nos diz que a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty e^nn^2 diverge.

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