Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos decidir se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência que estudamos em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir. Basicamente, uma série é a soma infinita de termos, e ela converge se essa soma se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais e mais termos.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da nossa série:
. Aqui,
cresce muito rápido, exponencialmente, enquanto
cresce de forma polinomial. Isso significa que, à medida que
aumenta, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.
Passo 4
Para determinar a convergência, podemos usar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos da série, quando
tende ao infinito, não for zero, então a série diverge.
Passo 5
Vamos calcular o limite dos termos da série:
Sabemos que
cresce mais rápido que qualquer potência de
, então esse limite é infinito:
Passo 6
Como o limite dos termos não é zero (na verdade, é infinito), o Teste da Divergência nos diz que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
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