Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique. A sequência
tem período 4 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função
e pergunta se a sequência de suas derivadas consecutivas
tem período 4. Neste exercício, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções trigonométricas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Lembra que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada,
:
Passo 5
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Passo 6
Observamos que
. Isso significa que, após quatro derivadas, voltamos à função original. Portanto, a sequência de derivadas repete a cada quatro passos.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A sequência de derivadas de
tem período 4.