Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função f(x) = 5 sen(x) - 4 cos(x). Justifique. A sequência f'(x), f''(x), f^(3)(x), f^(4)(x), f^(5)(x), ... tem período 4 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função e pergunta se a sequência de suas derivadas consecutivas tem período 4. Neste exercício, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Lembra que a derivada de é e a derivada de é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar :

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada, :

Passo 5

Agora, vamos derivar para encontrar :

Passo 6

Observamos que . Isso significa que, após quatro derivadas, voltamos à função original. Portanto, a sequência de derivadas repete a cada quatro passos.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A sequência de derivadas de tem período 4.

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