Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn são convergentes com termos positivos, mostre que sumn=1^infty an bn é convergente
(Dica: utilize o teorema da comparação )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas séries infinitas, sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn, que somam termos positivos e ambas convergem. O objetivo é mostrar que a série formada pelos produtos desses termos, ou seja, sumn=1^infty an bn, também converge. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Comparação, que nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra série cuja convergência já conhecemos.

Passo 2

O Teorema da Comparação diz o seguinte: se temos duas séries com termos positivos, sum an e sum cn, e se an <= cn para todo n, então, se sum cn converge, também sum an converge. Aqui, a ideia é encontrar uma série que seja maior ou igual a sum an bn e que sabemos que converges.

Passo 3

Como sum bn converge e todos os termos bn são positivos, sabemos que existe um número M que é uma cota superior para os termos bn, ou seja, bn <= M para todo n. Esse valor M pode ser, por exemplo, o primeiro termo da série sum bn.

Passo 4

Agora, vamos considerar o termo geral da série que queremos mostrar a convergência, an bn. Sabemos que bn <= M, então podemos escrever:
an bn <= an M
Isso porque multiplicamos ambos os lados da desigualdade bn <= M por an, que é positivo, mantendo a desigualdade.

Passo 5

Agora, vamos considerar a série sum an M. Essa série é igual a M sum an. Sabemos que sum an converge por hipótese, e M é uma constante. Multiplicar uma série convergente por uma constante não altera a sua convergência.

Passo 6

Portanto, a série sum an M é convergente. Como mostramos que para todo n, an bn <= an M, e a série maior sum an M é convergente, pelo Teorema da Comparação, concluímos que a série sum an bn também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty an bn é convergente.

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