Se
e
são convergentes com termos positivos, mostre que
é convergente
(Dica: utilize o teorema da comparação )
(Dica: utilize o teorema da comparação )
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas séries infinitas,
e
, que somam termos positivos e ambas convergem. O objetivo é mostrar que a série formada pelos produtos desses termos, ou seja,
, também converge. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Comparação, que nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra série cuja convergência já conhecemos.
Passo 2
O Teorema da Comparação diz o seguinte: se temos duas séries com termos positivos,
e
, e se
para todo
, então, se
converge, também
converge. Aqui, a ideia é encontrar uma série que seja maior ou igual a
e que sabemos que converges.
Passo 3
Como
converge e todos os termos
são positivos, sabemos que existe um número
que é uma cota superior para os termos
, ou seja,
para todo
. Esse valor
pode ser, por exemplo, o primeiro termo da série
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o termo geral da série que queremos mostrar a convergência,
. Sabemos que
, então podemos escrever:
Isso porque multiplicamos ambos os lados da desigualdade
por
, que é positivo, mantendo a desigualdade.
Passo 5
Agora, vamos considerar a série
. Essa série é igual a
. Sabemos que
converge por hipótese, e
é uma constante. Multiplicar uma série convergente por uma constante não altera a sua convergência.
Passo 6
Portanto, a série
é convergente. Como mostramos que para todo
,
, e a série maior
é convergente, pelo Teorema da Comparação, concluímos que a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Siga os seguintes passos:
- Use os itens anteriores para encontrar uma série de potências para
Qual é o raio de convergência?
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
;
Determine se a série converge ou diverge.
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
a. não é ilimitada;
a.