Se e são convergentes com termos positivos, mostre que é convergente
(Dica: utilize o teorema da comparação )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas séries infinitas, e , que somam termos positivos e ambas convergem. O objetivo é mostrar que a série formada pelos produtos desses termos, ou seja, , também converge. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Comparação, que nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com outra série cuja convergência já conhecemos.

Passo 2

O Teorema da Comparação diz o seguinte: se temos duas séries com termos positivos, e , e se para todo , então, se converge, também converge. Aqui, a ideia é encontrar uma série que seja maior ou igual a e que sabemos que converges.

Passo 3

Como converge e todos os termos são positivos, sabemos que existe um número que é uma cota superior para os termos , ou seja, para todo . Esse valor pode ser, por exemplo, o primeiro termo da série .

Passo 4

Agora, vamos considerar o termo geral da série que queremos mostrar a convergência, . Sabemos que , então podemos escrever:
Isso porque multiplicamos ambos os lados da desigualdade por , que é positivo, mantendo a desigualdade.

Passo 5

Agora, vamos considerar a série . Essa série é igual a . Sabemos que converge por hipótese, e é uma constante. Multiplicar uma série convergente por uma constante não altera a sua convergência.

Passo 6

Portanto, a série é convergente. Como mostramos que para todo , , e a série maior é convergente, pelo Teorema da Comparação, concluímos que a série também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Siga os seguintes passos:
  • Use os itens anteriores para encontrar uma série de potências para
Qual é o raio de convergência?
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. ;
Determine se a série converge ou diverge.
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique.
a. não é ilimitada;