Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique.
a. não é ilimitada;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar se a 29ª derivada dessa função, , é ou não ilimitada. Para resolver isso, vamos lembrar como derivadas de funções trigonométricas funcionam e observar o comportamento delas ao serem derivadas várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma expressão geral para as derivadas de . Sabemos que:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, cada vez que derivamos , os termos vão alternando entre e , mudando apenas de sinal.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão:
Observamos que a 4ª derivada retorna à expressão original . Isso significa que as derivadas de se repetem a cada 4 passos.

Passo 4

Como as derivadas se repetem a cada 4 passos, podemos encontrar a 29ª derivada calculando o resto da divisão de 29 por 4:
Isso significa que será igual à primeira derivada :

Passo 5

Agora, vamos analisar se é ilimitada. Sabemos que as funções e são limitadas, pois seus valores oscilam entre -1 e 1. Portanto, qualquer combinação linear delas também será limitada.

Resposta

A afirmação é falsa. A 29ª derivada é limitada.

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Se e são convergentes com termos positivos, mostre que é convergente
(Dica: utilize o teorema da comparação )
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. , para cada .
Calcule usando a definição, nos seguintes casos: