Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
a.
não é ilimitada;
a.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar se a 29ª derivada dessa função,
, é ou não ilimitada. Para resolver isso, vamos lembrar como derivadas de funções trigonométricas funcionam e observar o comportamento delas ao serem derivadas várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma expressão geral para as derivadas de
. Sabemos que:
- A derivada de é
- A derivada de
é
Então, cada vez que derivamos
, os termos vão alternando entre e
, mudando apenas de sinal.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão:
Observamos que a 4ª derivada
retorna à expressão original
. Isso significa que as derivadas de
se repetem a cada 4 passos.
Passo 4
Como as derivadas se repetem a cada 4 passos, podemos encontrar a 29ª derivada calculando o resto da divisão de 29 por 4:
Isso significa que
será igual à primeira derivada
:
Passo 5
Agora, vamos analisar se
é ilimitada. Sabemos que as funções e
são limitadas, pois seus valores oscilam entre -1 e 1. Portanto, qualquer combinação linear delas também será limitada.
Resposta
A afirmação é falsa. A 29ª derivada
é limitada.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge.
Se
e
são convergentes com termos positivos, mostre que
é convergente
(Dica: utilize o teorema da comparação )
(Dica: utilize o teorema da comparação )
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
, para cada
.
Calcule
usando a definição, nos seguintes casos: