Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. , para cada .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa decidir se a afirmação é verdadeira para todo . Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas de funções trigonométricas e como elas se comportam quando derivadas várias vezes são aplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como tirar derivadas de funções trigonométricas. Sabemos que:
Cada vez que derivamos uma função trigonométrica, ela muda de seno para cosseno ou vice-versa, e pode ganhar um sinal negativo dependendo da ordem da derivada.

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
Perceba que a segunda derivada já está na forma similar à afirmação dada. Vamos agora generalizar isso para a -ésima derivada.

Passo 4

Observando o padrão das derivadas, percebemos que a cada par de derivadas, os sinais dos termos alternam:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:
Vemos que após quatro derivadas, a função volta à sua forma original, o que indica um comportamento periódico com período 4 nas derivadas.

Passo 5

Baseado nesse padrão, podemos generalizar que para qualquer , a -ésima derivada será:
Isso porque a cada duas derivadas, o sinal de cada termo alterna de acordo com a potência de .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Para todo , a -ésima derivada de é .

Exercícios relacionados

Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique.
a. não é ilimitada;
Determine se a série converge ou diverge.
Calcule usando a definição, nos seguintes casos:
(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função , onde representa a pressão em um ponto . Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.