Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
, para cada
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa decidir se a afirmação é verdadeira para todo
. Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas de funções trigonométricas e como elas se comportam quando derivadas várias vezes são aplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como tirar derivadas de funções trigonométricas. Sabemos que:
Cada vez que derivamos uma função trigonométrica, ela muda de seno para cosseno ou vice-versa, e pode ganhar um sinal negativo dependendo da ordem da derivada.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas de
:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
Perceba que a segunda derivada já está na forma similar à afirmação dada. Vamos agora generalizar isso para a
-ésima derivada.
Passo 4
Observando o padrão das derivadas, percebemos que a cada par de derivadas, os sinais dos termos alternam:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
Vemos que após quatro derivadas, a função volta à sua forma original, o que indica um comportamento periódico com período 4 nas derivadas.
Passo 5
Baseado nesse padrão, podemos generalizar que para qualquer
, a
-ésima derivada será:
Isso porque a cada duas derivadas, o sinal de cada termo alterna de acordo com a potência de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Para todo
, a
-ésima derivada de
é .
Exercícios relacionados
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
a. não é ilimitada;
a.
Determine se a série converge ou diverge.
Calcule
usando a definição, nos seguintes casos:
(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
. Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.