Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função f(x) = 5 sen(x) - 4 cos(x). Justifique. f^(2k)(x) = 5(-1)^k sen(x) + 4(-1)^(k-1) cos(x), para cada k ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa decidir se a afirmação é verdadeira para todo . Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas de funções trigonométricas e como elas se comportam quando derivadas várias vezes são aplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como tirar derivadas de funções trigonométricas. Sabemos que:
Cada vez que derivamos uma função trigonométrica, ela muda de seno para cosseno ou vice-versa, e pode ganhar um sinal negativo dependendo da ordem da derivada.

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
Perceba que a segunda derivada já está na forma similar à afirmação dada. Vamos agora generalizar isso para a -ésima derivada.

Passo 4

Observando o padrão das derivadas, percebemos que a cada par de derivadas, os sinais dos termos alternam:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:
Vemos que após quatro derivadas, a função volta à sua forma original, o que indica um comportamento periódico com período 4 nas derivadas.

Passo 5

Baseado nesse padrão, podemos generalizar que para qualquer , a -ésima derivada será:
Isso porque a cada duas derivadas, o sinal de cada termo alterna de acordo com a potência de .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Para todo , a -ésima derivada de é .

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