Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n 2^nn^4+5)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries alternadas e métodos de convergência. Vamos precisar avaliar o comportamento dos termos da série e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos gerais da série: . Como há um , isso indica que é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos vão alternar entre positivo e negativo.

Passo 3

Para séries alternadas, um método comum de análise é o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os são positivos.
  2. decresce monotonamente para zero.

Passo 4

Vamos verificar essas condições para a nossa série. Primeiro, identificamos . Claramente, para todo .

Passo 5

Agora, precisamos ver se limn to infty 2^nn^4+5 está decrescendo e se tende a zero quando vai para o infinito. Observamos o limite:
Aqui, o numerador cresce exponencialmente, enquanto o denominador cresce polinomialmente. Exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, então esse limite tende ao infinito.

Passo 6

Como o limite de não é zero (na verdade, tende ao infinito), a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita. Portanto, pela regra, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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