Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries alternadas e métodos de convergência. Vamos precisar avaliar o comportamento dos termos da série e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos gerais da série:
. Como há um
, isso indica que é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos vão alternar entre positivo e negativo.
Passo 3
Para séries alternadas, um método comum de análise é o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os
são positivos. -
decresce monotonamente para zero.
Passo 4
Vamos verificar essas condições para a nossa série. Primeiro, identificamos
. Claramente,
para todo
.
Passo 5
Agora, precisamos ver se
está decrescendo e se tende a zero quando
vai para o infinito. Observamos o limite:
Aqui, o numerador
cresce exponencialmente, enquanto o denominador
cresce polinomialmente. Exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, então esse limite tende ao infinito.
Passo 6
Como o limite de
não é zero (na verdade, tende ao infinito), a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita. Portanto, pela regra, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.