Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries alternadas e métodos de convergência. Vamos precisar avaliar o comportamento dos termos da série e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos gerais da série: . Como há um , isso indica que é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos vão alternar entre positivo e negativo.
Passo 3
Para séries alternadas, um método comum de análise é o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
1. Os são positivos.
2. decresce monotonamente para zero.
Passo 4
Vamos verificar essas condições para a nossa série. Primeiro, identificamos . Claramente, para todo .
Passo 5
Agora, precisamos ver se está decrescendo e se tende a zero quando vai para o infinito. Observamos o limite:
Aqui, o numerador cresce exponencialmente, enquanto o denominador cresce polinomialmente. Exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, então esse limite tende ao infinito.
Passo 6
Como o limite de não é zero (na verdade, tende ao infinito), a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita. Portanto, pela regra, a série não converge.
Resposta
A série **diverge**.
Exercícios relacionados
Se e são convergentes com termos positivos, mostre que é convergente
(Dica: utilize o teorema da comparação )
Siga os seguintes passos:
- Use os itens anteriores para encontrar uma série de potências para
Qual é o raio de convergência?
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique.
a. não é ilimitada;
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. , para cada .