(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função , onde representa a pressão em um ponto . Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre pressão em uma superfície, representada pela função . Nosso objetivo é encontrar um vetor unitário na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas e ao conceito de gradiente na análise vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Essa direção é dada pelo negativo do gradiente da função . O gradiente ( ) é um vetor que aponta na direção de máxima taxa de aumento da função. Portanto, o negativo do gradiente aponta na direção de máxima taxa de diminuição.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a e :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Então, o gradiente da função é:

Passo 7

Para encontrar a direção de diminuição mais rápida, tomamos o negativo do gradiente:

Passo 8

Agora, precisamos transformar esse vetor no vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). Para isso, calculamos a magnitude do vetor :

Passo 9

Simplificando a magnitude:

Passo 10

Finalmente, o vetor unitário na direção de diminuição mais rápida é dado por dividido pela sua magnitude:
Isso simplifica para:
á

Resposta

O vetor unitário na direção em que a pressão diminui mais rapidamente é:

Exercícios relacionados

Calcule usando a definição, nos seguintes casos:
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. , para cada .
(RA1) Determine os pontos críticos da função e classifique-os como mínimo local, máximo local ou sela.