(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
. Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre pressão em uma superfície, representada pela função
. Nosso objetivo é encontrar um vetor unitário na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas e ao conceito de gradiente na análise vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Essa direção é dada pelo negativo do gradiente da função
. O gradiente (
) é um vetor que aponta na direção de máxima taxa de aumento da função. Portanto, o negativo do gradiente aponta na direção de máxima taxa de diminuição.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a
e
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Então, o gradiente da função é:
Passo 7
Para encontrar a direção de diminuição mais rápida, tomamos o negativo do gradiente:
Passo 8
Agora, precisamos transformar esse vetor no vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). Para isso, calculamos a magnitude do vetor
:
Passo 9
Simplificando a magnitude:
Passo 10
Finalmente, o vetor unitário na direção de diminuição mais rápida é dado por
dividido pela sua magnitude:
Isso simplifica para:
Resposta
O vetor unitário na direção em que a pressão diminui mais rapidamente é:
Exercícios relacionados
Calcule
usando a definição, nos seguintes casos:
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
, para cada
.
(RA1) Determine os pontos críticos da função
e classifique-os como mínimo local, máximo local ou sela.