Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função f(x) = 5 sen(x) - 4 cos(x). Justifique. f^(317)(x) = 4 sen(x) + 5 cos(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a afirmação sobre a função é verdadeira. A afirmação é que a 317ª derivada dessa função é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e entender como elas se comportam com derivadas de ordem elevada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das derivadas das funções seno e cosseno:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Isso significa que, ao derivar funções trigonométricas repetidamente, elas passam por um ciclo de quatro etapas antes de se repetirem.

Passo 3

Vamos derivar várias vezes para identificar um padrão:
  1. Primeira derivada ( ):
  2. Segunda derivada ( ):
  3. Terceira derivada ( ):
  4. Quarta derivada ( ):
Percebemos que a cada quatro derivações, voltamos à função original. Esse ciclo é importante para calcular derivadas de ordem alta, como a 317ª.

Passo 4

Para encontrar a 317ª derivada, vamos usar o fato de que as derivadas se repetem a cada quatro passos. Precisamos descobrir em qual parte do ciclo a 317ª derivada está.
Dividimos 317 por 4:
Isso significa que a 317ª derivada corresponde à primeira derivada no ciclo.

Passo 5

Sabendo que , concluímos que:

Resposta

A afirmação é verdadeira. A 317ª derivada de é .

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