Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a afirmação sobre a função é verdadeira. A afirmação é que a 317ª derivada dessa função é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e entender como elas se comportam com derivadas de ordem elevada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das derivadas das funções seno e cosseno:
- A derivada de é
. - A derivada de
é .
Isso significa que, ao derivar funções trigonométricas repetidamente, elas passam por um ciclo de quatro etapas antes de se repetirem.
Passo 3
Vamos derivar várias vezes para identificar um padrão:
- Primeira derivada (
): - Segunda derivada (
): - Terceira derivada (
): - Quarta derivada (
):
Percebemos que a cada quatro derivações, voltamos à função original. Esse ciclo é importante para calcular derivadas de ordem alta, como a 317ª.
Passo 4
Para encontrar a 317ª derivada, vamos usar o fato de que as derivadas se repetem a cada quatro passos. Precisamos descobrir em qual parte do ciclo a 317ª derivada está.
Dividimos 317 por 4:
Isso significa que a 317ª derivada corresponde à primeira derivada no ciclo.
Passo 5
Sabendo que , concluímos que:
Resposta
A afirmação é verdadeira. A 317ª derivada de é .
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, onde
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. Determine a taxa de variação da pressão em
na direção e sentido do vetor
.
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
nunca se anula;