Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função f(x) = 5 sen(x) - 4 cos(x). Justifique. f^(128)(x) nunca se anula;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função trigonométrica dada por . A questão pede pra gente decidir se a derivada de ordem 128 dessa função, ou seja, , nunca se anula. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as derivadas de funções seno e cosseno e ver o que acontece quando a derivada é aplicada muitas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a derivada das funções seno e cosseno. Quando derivamos , a gente tem:
E para :
Percebeu que ao derivar, a função muda de seno para cosseno e vice-versa, e pode ganhar um sinal negativo. Isso significa que a cada derivada, a gente está “girando” entre seno e cosseno.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando derivamos várias vezes. As derivadas das funções trigonométricas se repetem em um ciclo de 4 passos. Ou seja:
E aí, no quinto derivado, voltamos ao início:
Isso mostra que, a cada 4 derivações, a função volta à sua forma original. Então, para a derivada de ordem 128, vamos ver onde ela cai nesse ciclo.

Passo 4

Vamos calcular dividido por :
Como o resto é 0, isso significa que:
Então, a derivada 128 vai ser exatamente a própria função original!

Passo 5

Agora, precisamos ver se nunca é igual a zero. Sabemos que combinações lineares de seno e cosseno são funções periódicas que, em geral, cruzam o eixo x em diversos pontos. Isso significa que, sim, existem valores de onde .

Resposta

A afirmação é falsa. A derivada se anula em certos valores de .

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