Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
nunca se anula;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função trigonométrica dada por
. A questão pede pra gente decidir se a derivada de ordem 128 dessa função, ou seja,
, nunca se anula. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as derivadas de funções seno e cosseno e ver o que acontece quando a derivada é aplicada muitas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a derivada das funções seno e cosseno. Quando derivamos
, a gente tem:
E para
:
Percebeu que ao derivar, a função muda de seno para cosseno e vice-versa, e pode ganhar um sinal negativo. Isso significa que a cada derivada, a gente está “girando” entre seno e cosseno.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando derivamos várias vezes. As derivadas das funções trigonométricas se repetem em um ciclo de 4 passos. Ou seja:
E aí, no quinto derivado, voltamos ao início:
Isso mostra que, a cada 4 derivações, a função volta à sua forma original. Então, para a derivada de ordem 128, vamos ver onde ela cai nesse ciclo.
Passo 4
Vamos calcular
dividido por
:
Como o resto é 0, isso significa que:
Então, a derivada 128 vai ser exatamente a própria função original!
Passo 5
Agora, precisamos ver se
nunca é igual a zero. Sabemos que combinações lineares de seno e cosseno são funções periódicas que, em geral, cruzam o eixo x em diversos pontos. Isso significa que, sim, existem valores de
onde
.
Resposta
A afirmação é falsa. A derivada
se anula em certos valores de
.