(RA1/RA2) Uma pessoa está puxando uma corda que está presa ao topo de uma pipa. A pipa está subindo verticalmente no céu, enquanto a pessoa está se afastando horizontalmente da posição diretamente abaixo da pipa. No instante considerado, a pipa está a 20 m de altura, o comprimento da corda nesse instante é 25 m e a corda está sendo puxada a uma taxa de 3 m/s. Qual é a taxa de variação da distância horizontal entre a pessoa e a posição diretamente abaixo da pipa neste instante? Essa distância aumenta ou diminui?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma pessoa que está puxando uma corda presa a um pipa que está subindo no céu. No momento considerado:
  • A altura do pipa ( ) é de 20 metros.
  • O comprimento da corda ( ) é de 25 metros.
  • A corda está sendo puxada a uma taxa de .
Queremos descobrir a taxa de variação da distância horizontal ( ) entre a pessoa e a posição diretamente abaixo do pipa, ou seja, . Além disso, precisamos saber se essa distância está aumentando ou diminuindo.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras e cálculo de taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura do pipa ( ), a distância horizontal ( ) e o comprimento da corda ( ):

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo ( ) para relacionar as taxas de variação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 4

No enunciado, a pessoa está se afastando horizontalmente, o que significa que é positivo (a distância está aumentando). Além disso, a corda está sendo puxada a uma taxa de , então .
Assumimos que a altura do pipa ( ) está constante nesse instante, ou seja, .
Substituindo esses valores na equação:
Observação: Calculamos usando o Teorema de Pitágoras:

Passo 5

Resolvendo a equação para :

Resposta

A distância horizontal entre a pessoa e a posição diretamente abaixo da pipa está aumentando a uma taxa de .

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