(RA1/RA2) Uma pessoa está puxando uma corda que está presa ao topo de uma pipa. A pipa está subindo verticalmente no céu, enquanto a pessoa está se afastando horizontalmente da posição diretamente abaixo da pipa. No instante considerado, a pipa está a 20 m de altura, o comprimento da corda nesse instante é 25 m e a corda está sendo puxada a uma taxa de
. Qual é a taxa de variação da distância horizontal entre a pessoa e a posição diretamente abaixo da pipa neste instante? Essa distância aumenta ou diminui?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma pessoa que está puxando uma corda presa a um pipa que está subindo no céu. No momento considerado:
- A altura do pipa (
) é de 20 metros. - O comprimento da corda (
) é de 25 metros. - A corda está sendo puxada a uma taxa de
.
Queremos descobrir a taxa de variação da distância horizontal (
) entre a pessoa e a posição diretamente abaixo do pipa, ou seja,
. Além disso, precisamos saber se essa distância está aumentando ou diminuindo.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras e cálculo de taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura do pipa (
), a distância horizontal (
) e o comprimento da corda (
):
Passo 3
Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo (
) para relacionar as taxas de variação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 4
No enunciado, a pessoa está se afastando horizontalmente, o que significa que
é positivo (a distância
está aumentando). Além disso, a corda está sendo puxada a uma taxa de
, então
.
Assumimos que a altura do pipa (
) está constante nesse instante, ou seja,
.
Substituindo esses valores na equação:
Observação: Calculamos
usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Resposta
A distância horizontal entre a pessoa e a posição diretamente abaixo da pipa está aumentando a uma taxa de
.