(RA1) Determine os pontos críticos da função
e classifique-os como mínimo local, máximo local ou sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e dizer se eles são mínimos, máximos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2).
Passo 5
Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo
na equação (2):
Então, temos o ponto crítico
.
Passo 7
Caso 2:
Substituindo
na equação (2):
Então, novamente,
e, consequentemente,
. Isso nos dá o mesmo ponto crítico
.
Passo 8
Então, o único ponto crítico da função é
.
Passo 9
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 10
No ponto crítico
, avaliamos essas derivadas:
Passo 11
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Quando
, o teste é inconclusivo. Isso significa que a classificação do ponto crítico
não pode ser determinada apenas com o teste da segunda derivada.
Passo 12
Como o teste da segunda derivada foi inconclusivo, podemos analisar a função diretamente ou usar outros métodos. Observando a função
, vemos que ao se aproximar de diferentes direções, os valores de
podem assumir tanto valores positivos quanto negativos perto de
, indicando que esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
e ele é um ponto de sela.
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(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
. Uma equipe de cientistas precisa se mover na direção em que a pressão diminui mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção.
Calcule
usando a definição, nos seguintes casos:
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
;