(RA1) Determine os pontos críticos da função e classifique-os como mínimo local, máximo local ou sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e dizer se eles são mínimos, máximos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver o sistema de equações (1) e (2).

Passo 5

Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Então, temos o ponto crítico .

Passo 7

Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Então, novamente, e, consequentemente, . Isso nos dá o mesmo ponto crítico .

Passo 8

Então, o único ponto crítico da função é .

Passo 9

Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:

Passo 10

No ponto crítico , avaliamos essas derivadas:

Passo 11

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Quando , o teste é inconclusivo. Isso significa que a classificação do ponto crítico não pode ser determinada apenas com o teste da segunda derivada.

Passo 12

Como o teste da segunda derivada foi inconclusivo, podemos analisar a função diretamente ou usar outros métodos. Observando a função , vemos que ao se aproximar de diferentes direções, os valores de podem assumir tanto valores positivos quanto negativos perto de , indicando que esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela.

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Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função . Justifique. ;