(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função
, onde
representa a pressão em um ponto
. Determine a taxa de variação da pressão em
na direção e sentido do vetor
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a taxa de variação da pressão na posição
na direção e sentido do vetor
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente do estudo de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é a taxa de variação de
naquele ponto na direção de
. Para calcular isso, precisamos da derivada parcial de
em relação a
e a
, ou seja,
e
, que juntos formam o gradiente de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, o gradiente de
é:
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
. Para isso, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
:
Podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A taxa de variação da pressão em
na direção e sentido do vetor
é aproximadamente 0,208 unidades de pressão por unidade de distância.
Exercícios relacionados
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
;
Decida sobre a veracidade de cada uma das afirmações a respeito da função
. Justifique.
nunca se anula;
(RA2) Dada a função
, verifique se os pontos
e
são pontos críticos da função. Em caso afirmativo, classifique cada um deles como máximo, mínimo ou sela.