(RA1) Considere a pressão em uma superfície dada pela função P(x, y) = 3x / (1 + x^2 + y^2), onde P(x, y) representa a pressão em um ponto (x, y). Determine a taxa de variação da pressão em 1,2 na direção e sentido do vetor v = (4, -1).

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a taxa de variação da pressão na posição na direção e sentido do vetor . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente do estudo de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor é a taxa de variação de naquele ponto na direção de . Para calcular isso, precisamos da derivada parcial de em relação a e a , ou seja, e , que juntos formam o gradiente de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com as derivadas parciais, o gradiente de é:
Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A taxa de variação da pressão em na direção e sentido do vetor é aproximadamente 0,208 unidades de pressão por unidade de distância.

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