(RA2) Dada a função
, verifique se os pontos
e
são pontos críticos da função. Em caso afirmativo, classifique cada um deles como máximo, mínimo ou sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis,
. Nosso objetivo aqui é verificar se os pontos
e
são pontos críticos dessa função. Se forem, vamos classificar cada um como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Os pontos críticos da função ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para
:
Resolvendo a segunda equação para
:
Então, o único ponto crítico da função é
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se os pontos
e
são pontos críticos. Já vimos que
satisfaz as equações das derivadas parciais iguais a zero, então ele é um ponto crítico.
Para o ponto
, vamos substituir na derivada parcial:
Para
:
Para
:
Como as derivadas parciais não são zero em
, esse ponto não é um ponto crítico da função.
Passo 5
Agora que identificamos que apenas
é um ponto crítico, vamos classificá-lo. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é positivo e
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Resposta
Somente o ponto
é ponto crítico da função
, e ele é um ponto de máximo local.