(RA2) Dada a função , verifique se os pontos e são pontos críticos da função. Em caso afirmativo, classifique cada um deles como máximo, mínimo ou sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, . Nosso objetivo aqui é verificar se os pontos e são pontos críticos dessa função. Se forem, vamos classificar cada um como máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Os pontos críticos da função ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :
Então, o único ponto crítico da função é .

Passo 4

Agora, vamos verificar se os pontos e são pontos críticos. Já vimos que satisfaz as equações das derivadas parciais iguais a zero, então ele é um ponto crítico.
Para o ponto , vamos substituir na derivada parcial:
Para :
Para :
Como as derivadas parciais não são zero em , esse ponto não é um ponto crítico da função.

Passo 5

Agora que identificamos que apenas é um ponto crítico, vamos classificá-lo. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é positivo e , isso indica que é um ponto de máximo local.

Resposta

Somente o ponto é ponto crítico da função , e ele é um ponto de máximo local.

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