Se for verdadeiro, prove; se for falso, apresente um contra-exemplo. f) se a in Z, então (a ^2 é ímpar) Leftrightarrow (a é ímpar);

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se é um número inteiro, então ² é ímpar se e somente se é ímpar.” Isso envolve entender os conceitos de números pares e ímpares e como eles se comportam ao serem elevados ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um número ser par ou ímpar:
  • Número Par: Um número é par se pode ser escrito como , onde é um número inteiro.
  • Número Ímpar: Um número é ímpar se pode ser escrito como , onde é um número inteiro.

Passo 3

Para provar a afirmação, vamos dividir em duas partes:
  1. Se é ímpar, então ² é ímpar.
  2. Se ² é ímpar, então é ímpar.

Passo 4

Parte 1: Se a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 é ímpar, então ² é ímpar
Assumimos que é ímpar. Então, podemos escrever como , onde é um inteiro.
Calculando ²:
²²²²
Como ² é um inteiro, podemos ver que ² tem a forma , onde é um inteiro. Portanto, ² é ímpar.

Passo 5

Parte 2: Se a² = (2k)² = 4k² = 2(2k²) ² é ímpar, então é ímpar
Queremos mostrar que se ² é ímpar, então também deve ser ímpar. Vamos provar isso por contraposição: se não é ímpar (ou seja, é par), então ² não é ímpar (é par).
Assumimos que é par. Então, podemos escrever , onde é um inteiro.
Calculando ²:
²²²²
Como ² é um inteiro, ² tem a forma , onde é um inteiro. Portanto, ² é par.
Assim, se ² for ímpar, não pode ser par e, consequentemente, deve ser ímpar.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Para todo , ² é ímpar se e somente se é ímpar.

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