Se for verdadeiro, prove; se for falso, apresente um contra-exemplo. f) se a
, então (a
é ímpar)
(a é ímpar);
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é um número inteiro, então
é ímpar se e somente se
é ímpar.” Isso envolve entender os conceitos de números pares e ímpares e como eles se comportam ao serem elevados ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um número ser par ou ímpar:
- Número Par: Um número é par se pode ser escrito como
, onde é um número inteiro. - Número Ímpar: Um número é ímpar se pode ser escrito como
, onde é um número inteiro.
Passo 3
Para provar a afirmação, vamos dividir em duas partes:
- Se
é ímpar, então é ímpar. - Se
é ímpar, então é ímpar.
Passo 4
Parte 1: Se
é ímpar, então
é ímpar
Assumimos que
é ímpar. Então, podemos escrever
como
, onde
é um inteiro.
Calculando
:
Como
é um inteiro, podemos ver que
tem a forma
, onde
é um inteiro. Portanto,
é ímpar.
Passo 5
Parte 2: Se
é ímpar, então
é ímpar
Queremos mostrar que se
é ímpar, então
também deve ser ímpar. Vamos provar isso por contraposição: se
não é ímpar (ou seja, é par), então
não é ímpar (é par).
Assumimos que
é par. Então, podemos escrever
, onde
é um inteiro.
Calculando
:
Como
é um inteiro,
tem a forma
, onde
é um inteiro. Portanto,
é par.
Assim, se
for ímpar,
não pode ser par e, consequentemente, deve ser ímpar.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Para todo
,
é ímpar se e somente se
é ímpar.