Mostre que não são lineares as aplicações dadas.
definida por
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por
. O objetivo é mostrar que essa função não é linear. Para isso, vamos precisar conhecer o que significa uma transformação linear e verificar se a função F satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma aplicação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se a função F satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição de vetores. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Vemos que os primeiros componentes são diferentes, pois
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Novamente, os primeiros componentes são diferentes a menos que
, o que não é verdadeiro para todos os escalares.
Resposta
Como a função
não satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar, concluímos que F não é uma aplicação linear.