Mostre que não são lineares as aplicações dadas. F: R^3 R^2 definida por F(x, y, z)=(x+1, y+z).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . O objetivo é mostrar que essa função não é linear. Para isso, vamos precisar conhecer o que significa uma transformação linear e verificar se a função F satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma aplicação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se a função F satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição de vetores. Seja F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + 1, (y1 + y2) + (z1 + z2)) e F(u) + F(v) = (x1 + 1, y1 + z1) + (x2 + 1, y2 + z2) = (x1 + x2 + 2, y1 + z1 + y2 + z2) . Então:
(x1 + x2 + 1, y1 + y2 + z1 + z2) neq (x1 + x2 + 2, y1 + y2 + z1 + z2)
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Vemos que os primeiros componentes são diferentes, pois .

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja F(cu) = F(cx, cy, cz) = (cx + 1, cy + cz) um escalar e cF(u) = c(x + 1, y + z) = (c(x + 1), c(y + z)) = (cx + c, cy + cz) . Então:
(cx + 1, cy + cz) neq (cx + c, cy + cz)
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Novamente, os primeiros componentes são diferentes a menos que , o que não é verdadeiro para todos os escalares.

Resposta

Como a função não satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar, concluímos que F não é uma aplicação linear.

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