Decida se a transformação linear dada é não singular. Se não for, encontre um vetor não nulo v cuja imagem seja 0 ; caso contrário, encontre uma fórmula para a transformação inversa. F: R^3 R^3 definida por F(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+3 y+5 z, x+3 y+7 z),

Passo 1

Ei! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar se uma transformação linear é não singular, ou seja, se é invertível. Se não for, precisamos encontrar um vetor não nulo que é mapeado para zero. Caso contrário, vamos encontrar a fórmula da transformação inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 5 1 & 3 & 7 como uma matriz. A transformação pode ser escrita na forma matricial:

Passo 3

Para saber se det(A) = 1 cdot (3 cdot 7 - 5 cdot 3) - 1 cdot (2 cdot 7 - 5 cdot 1) + 1 cdot (2 cdot 3 - 3 cdot 1) é não singular (invertível), precisamos calcular o determinante dessa matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Vamos calcular:

Passo 4

Vamos resolver cada parte do determinante:
det(A) = 1 cdot (21 - 15) - 1 cdot (14 - 5) + 1 cdot (6 - 3)
det(A) = 1 cdot 6 - 1 cdot 9 + 1 cdot 3
det(A) = 6 - 9 + 3 = 0

Passo 5

Como o determinante de é zero, isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação linear é singular.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar um vetor não nulo x + y + z = 0 2x + 3y + 5z = 0 x + 3y + 7z = 0 tal que . Ou seja:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar, por exemplo, o método de substituição ou eliminação. Vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para simplificar:
(2x + 3y + 5z) - (x + y + z) = x + 2y + 4z = 0
(x + 3y + 7z) - (x + y + z) = 2y + 6z = 0

Passo 8

Agora, temos:
x + 2y + 4z = 0 2y + 6z = 0
Da segunda equação:
2y + 6z = 0 Rightarrow y = -3z

Passo 9

Substituindo x + 2(-3z) + 4z = x - 6z + 4z = x - 2z = 0 Rightarrow x = 2z na primeira equação:

Passo 10

Então, os componentes do vetor v = (2z, -3z, z) = z (2, -3, 1) são expressos em função de v = (2, -3, 1) :
Como pode ser qualquer número real diferente de zero, por exemplo, , temos:

Resposta

A transformação linear é singular. Um vetor não nulo que satisfaz é .

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