Decida se a transformação linear dada é não singular. Se não for, encontre um vetor não nulo cuja imagem seja 0 ; caso contrário, encontre uma fórmula para a transformação inversa. definida por ,
Passo 1
Ei! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar se uma transformação linear é não singular, ou seja, se é invertível. Se não for, precisamos encontrar um vetor não nulo que é mapeado para zero. Caso contrário, vamos encontrar a fórmula da transformação inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação pode ser escrita na forma matricial:
Passo 3
Para saber se det(A) = 1 cdot (3 cdot 7 - 5 cdot 3) - 1 cdot (2 cdot 7 - 5 cdot 1) + 1 cdot (2 cdot 3 - 3 cdot 1) é não singular (invertível), precisamos calcular o determinante dessa matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Vamos calcular:
Como o determinante de é zero, isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação linear é singular.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar um vetor não nulo x + y + z = 0 2x + 3y + 5z = 0 x + 3y + 7z = 0 tal que . Ou seja:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar, por exemplo, o método de substituição ou eliminação. Vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira para simplificar:
(2x + 3y + 5z) - (x + y + z) = x + 2y + 4z = 0
(x + 3y + 7z) - (x + y + z) = 2y + 6z = 0
Passo 8
Agora, temos:
x + 2y + 4z = 0 2y + 6z = 0
Da segunda equação:
2y + 6z = 0 Rightarrow y = -3z
Passo 9
Substituindo x + 2(-3z) + 4z = x - 6z + 4z = x - 2z = 0 Rightarrow x = 2z na primeira equação:
Passo 10
Então, os componentes do vetor v = (2z, -3z, z) = z (2, -3, 1) são expressos em função de v = (2, -3, 1) :
Como pode ser qualquer número real diferente de zero, por exemplo, , temos:
Resposta
A transformação linear é singular. Um vetor não nulo que satisfaz é .