Escreva as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto (1,0,1) e tem como vetor diretor v=(-1,-1,0).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta no espaço. Para isso, vamos precisar de um ponto que a reta passa e de um vetor diretor, que indica a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, identificamos o ponto dado pela reta, que é x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct , e o vetor diretor . As equações paramétricas de uma reta no espaço são expressas da seguinte forma:
onde é o ponto pela qual a reta passa e são as componentes do vetor diretor .

Passo 3

Aplicando os valores do ponto x = 1 - t y = 0 - t z = 1 + 0 cdot t e do vetor diretor x = 1 - t y = -t z = 1 nas equações paramétricas, temos:
Simplificando, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações simétricas da reta. As equações simétricas relacionam as coordenadas x - x0a = y - y0b = z - z0c , x - 1-1 = y - 0-1 = z - 10 e x - 1-1 = y-1 e z = 1 da seguinte maneira:
Substituindo os valores que temos:
Como a componente do vetor diretor é zero, isso significa que é constante na reta. Portanto, a equação simétrica fica assim:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 - t y = -t z = 1
E as equações simétricas da reta são:
x - 1-1 = y-1 e z = 1

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