Escreva as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos A(1,0,2) e B(pi,-3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos pontos e . Isso envolve entender como descrever uma reta no espaço usando coordenadas. Para isso, vamos usar vetores e álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta, que indica a direção da reta. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos AB = B - A = (pi - 1, -3 - 0, 1 - 2) = (pi - 1, -3, -1) e :
Esse vetor será usado para definir a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
Onde x = 1 + (pi - 1)t é um ponto na reta (podemos usar y = 0 - 3t ) e z = 2 - t é o vetor diretor x = 1 + (pi - 1)t y = -3t z = 2 - t .
Substituindo os valores:
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 4

Agora, vamos transformar essas equações paramétricas em equações simétricas. Para isso, isolamos o parâmetro t = x - 1pi - 1 em cada equação:
Da equação de t = y-3 :
t = 2 - z1
Da equação de x - 1pi - 1 = y-3 = 2 - z1 :
Da equação de :
Igualando os três valores de :
Então, essa é a forma simétrica das equações da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 + (pi - 1)t y = -3t z = 2 - t
E as equações simétricas da reta são:
x - 1pi - 1 = y-3 = 2 - z1

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