Se for verdadeiro, prove; se for falso, apresente um contra-exemplo. g) se a in Z, então (a ^2 é par) Leftrightarrow (a é par);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se é um número inteiro, então é par se e somente se é par.” Isso faz parte da matéria de Matemática, mais especificamente, da teoria dos números e paridade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número ser par e como isso se relaciona com o quadrado desse número.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa um número ser par. Um número inteiro é par se ele pode ser escrito como , onde é outro inteiro. Se não for possível escrever dessa forma, ele é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos provar a afirmação “se a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) é par, então é par”. Se é par, então para algum inteiro . Elevando ao quadrado:
Como é um inteiro, isso mostra que é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 4

Em seguida, vamos provar a outra direção: “se a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 é par, então é par”. Suponha que seja par. Se fosse ímpar, poderia ser escrito como para algum inteiro . Então:
Isso resulta em um número ímpar, porque é vezes algum inteiro mais . Mas isso contraria nossa suposição de que é par. Portanto, nossa suposição de que é ímpar está errada, o que significa que deve ser par.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é um número inteiro, então é par se e somente se é par.

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