Mostre, usando a definição, que
é contínua em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando a definição, que a função
é contínua em
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de continuidade de funções, e vamos precisar entender a definição de continuidade em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição. Calculamos
:
Então,
está definida e vale 10.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 5. Como
é uma função linear, o limite é simplesmente:
Passo 5
Finalmente, comparamos o limite encontrado com o valor da função em 5:
Como o limite de
quando
se aproxima de 5 é igual a
, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.
Resposta
Portanto, pela definição, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Simplifique:
Seja
. Decida se
é derivável e em caso afirmativo calcule
.
Decida para que valores de
a integral abaixo é convergente: