Decidir se a curva
é concava ou convexa em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a curva definida por
e
é côncava ou convexa no ponto onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar a curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as primeiras derivadas de
e
em relação a
. Essas derivadas nos ajudam a entender como a curva está mudando nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as segundas derivadas de
e
em relação a
. As segundas derivadas nos dão informações sobre a concavidade ou convexidade da curva.
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que é essencial para determinar a concavidade ou convexidade. A fórmula para isso em termos paramétricos é:
Vamos substituir
nessa expressão:
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 5
Por último, vamos interpretar o resultado. A segunda derivada
é negativa. Quando a segunda derivada é negativa, dizemos que a curva é côncava nesse ponto.
Resposta
A curva é côncava no ponto onde
.
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