Decidir se a curva é concava ou convexa em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a curva definida por e é côncava ou convexa no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar a curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as primeiras derivadas de e em relação a . Essas derivadas nos ajudam a entender como a curva está mudando nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as segundas derivadas de e em relação a . As segundas derivadas nos dão informações sobre a concavidade ou convexidade da curva.

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é essencial para determinar a concavidade ou convexidade. A fórmula para isso em termos paramétricos é:
Vamos substituir nessa expressão:
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 5

Por último, vamos interpretar o resultado. A segunda derivada é negativa. Quando a segunda derivada é negativa, dizemos que a curva é côncava nesse ponto.

Resposta

A curva é côncava no ponto onde .

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