Determine a linha tangente à curva x(t) = cos(2t), y(t) = sen(3t) em t = pi / 6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a linha tangente à curva dada pelas funções paramétricas e no ponto onde . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções paramétricas, para achar a inclinação da tangente e depois a própria equação da linha.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Basta substituir esse valor em e :
Então, o ponto na curva é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a , que nos dão as taxas de variação dessas funções:
Substituindo :

Passo 4

A inclinação da linha tangente é dada pela derivada de em relação a , que calculamos usando:
Como a inclinação é zero, a linha tangente é horizontal.

Resposta

A equação da linha tangente à curva no ponto é:

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