Encontre a linha tangente à curva em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a linha tangente a uma curva definida por funções paramétricas: e , no ponto onde . Vamos precisar entender um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para achar essa tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto na curva quando . Isso significa substituir nas funções e :
Então, o ponto na curva é .

Passo 3

Agora, para encontrar a linha tangente, precisamos da inclinação dessa tangente no ponto . A inclinação da tangente é dada pela derivada no ponto.
Como temos funções paramétricas, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo nessas derivadas:

Passo 5

Agora, calculamos no ponto:
Então, a inclinação da tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a equação para a forma :

Resposta

A linha tangente à curva no ponto é dada por:

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