Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial ( ) e uma função trigonométrica inversa ( ). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é ótimo para integrar produtos de funções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Vamos definir:
Escolhemos como a função mais complicada para simplificar quando derivada, e como a parte que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Primeiro, derivamos :
Depois, integramos para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a integral restante:
Para resolver , vamos simplificar a fração.

Passo 7

Dividindo o numerador pelo denominador:
Podemos separar como , mas uma maneira mais fácil é fazer uma substituição.

Passo 8

Vamos fazer a substituição:
Precisamos ajustar a integral:
Usando a substituição, fica:

Passo 9

Agora, simplificamos a integral:
Mas sabemos que , então:
Substituindo:

Passo 10

Agora, a integral fica fácil de resolver:
Substituindo :

Passo 11

Voltando à nossa expressão original da integração por partes:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a) decompondo as frações nos itens e numa soma de frações;
(b) usando a substituição ou (usar a fato de que ) no item ;
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo ox e ;