Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial (
) e uma função trigonométrica inversa (
). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é ótimo para integrar produtos de funções diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
Passo 3
Vamos definir:
Escolhemos
como a função mais complicada para simplificar quando derivada, e
como a parte que podemos integrar facilmente.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Primeiro, derivamos
:
Depois, integramos
para encontrar
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a integral restante:
Para resolver
, vamos simplificar a fração.
Passo 7
Dividindo o numerador pelo denominador:
Podemos separar
como
, mas uma maneira mais fácil é fazer uma substituição.
Passo 8
Vamos fazer a substituição:
Precisamos ajustar a integral:
Usando a substituição, fica:
Passo 9
Agora, simplificamos a integral:
Mas sabemos que
, então:
Substituindo:
Passo 10
Agora, a integral fica fácil de resolver:
Substituindo
:
Passo 11
Voltando à nossa expressão original da integração por partes:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a) decompondo as frações nos itens
e
numa soma de frações;
(b) usando a substituição ou
(usar a fato de que
) no item
;
(b) usando a substituição
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo ox e
;
curva