Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral x^2 arctan (3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial ( ) e uma função trigonométrica inversa ( ). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é ótimo para integrar produtos de funções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Vamos definir:
u = arctan(3x) e dv = x^2 , dx
Escolhemos como a função mais complicada para simplificar quando derivada, e como a parte que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Agora, vamos calcular du = ddx arctan(3x) , dx = 31 + (3x)^2 , dx = 31 + 9x^2 , dx e v = integral x^2 , dx = x^33 :
Primeiro, derivamos :
Depois, integramos para encontrar :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 arctan(3x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= arctan(3x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 31 + 9x^2 , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
= x^33 arctan(3x) - integral x^31 + 9x^2 , dx
Para resolver , vamos simplificar a fração.

Passo 7

Dividindo o numerador pelo denominador:
x^31 + 9x^2 = x^39x^2 + 1 = x^39x^2 + 1
Podemos separar como , mas uma maneira mais fácil é fazer uma substituição.

Passo 8

Vamos fazer a substituição:
w = 9x^2 + 1 Rightarrow dw = 18x , dx Rightarrow dw18 = x , dx
Precisamos ajustar a integral:
integral x^39x^2 + 1 , dx = integral x^2 cdot x9x^2 + 1 , dx = integral x^29x^2 + 1 cdot x , dx
Usando a substituição, fica:
integral x^2w cdot dw18

Passo 9

Agora, simplificamos a integral:
118 integral x^2w , dw
Mas sabemos que x^2 = w - 19 , então:
118 integral w - 19w , dw = 1162 integral (1 - 1w) , dw
Substituindo:

Passo 10

Agora, a integral fica fácil de resolver:
1162 ( integral 1 , dw - integral 1w , dw ) = 1162 ( w - ln|w| ) + C
Substituindo = 1162 ( 9x^2 + 1 - ln(9x^2 + 1) ) + C :

Passo 11

Voltando à nossa expressão original da integração por partes:
integral x^2 arctan(3x) , dx = x^33 arctan(3x) - 1162 ( 9x^2 + 1 - ln(9x^2 + 1) ) + C
Simplificando:
= x^33 arctan(3x) - 9x^2 + 1162 + ln(9x^2 + 1)162 + C

Resposta

A integral x^33 arctan(3x) - 9x^2 + 1162 + ln(9x^2 + 1)162 + C é igual a
onde é a constante de integração.

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