Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Essa fórmula nos ajuda a dividir a integral em partes mais simples.
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual parte da nossa integral será
e qual será
. Vamos escolher:
Isso significa que vamos derivar
e integrar
.
Passo 4
Calculando
, a derivada de
:
Usamos a regra da derivada do logaritmo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos
para encontrar
:
Passo 6
Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando a integral:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a integral restante:
Podemos dividir
por
:
Portanto:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculando cada parte:
E para a segunda parte, fazemos uma substituição:
Então:
Passo 9
Juntando tudo:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Resposta
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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(a) decompondo as frações nos itens
e
numa soma de frações;
(b) usando a substituição ou
(usar a fato de que
) no item
;
(b) usando a substituição