Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral x ln (1-x1+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a dividir a integral em partes mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual parte da nossa integral será u = ln (1 - x1 + x) e dv = x , dx e qual será . Vamos escolher:
Isso significa que vamos derivar e integrar .

Passo 4

Calculando du = ddx ln (1 - x1 + x) dx , a derivada de du = ( -11 - x cdot (-1) - 11 + x cdot 1 ) dx = ( 11 - x - 11 + x ) dx :
du = 2x1 - x^2 dx
Usamos a regra da derivada do logaritmo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos v = integral x , dx = x^22 para encontrar :

Passo 6

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x ln (1 - x1 + x) dx = uv - integral v , du
Substituindo = ln (1 - x1 + x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 2x1 - x^2 dx , = x^22 ln (1 - x1 + x) - integral x^31 - x^2 dx e :
Simplificando a integral:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a integral restante:
integral x^31 - x^2 dx
Podemos dividir x^3 = -x(1 - x^2) + x por x^31 - x^2 = -x + x1 - x^2 :
integral (-x + x1 - x^2) dx = -integral x dx + integral x1 - x^2 dx
Portanto:
Então, a integral fica:

Passo 8

Calculando cada parte:
- integral x dx = -x^22
E para a segunda parte, fazemos uma substituição:
u = 1 - x^2 implies du = -2x dx implies -12 du = x dx
Então:
integral x1 - x^2 dx = -12 integral 1u du = -12 ln|u| + C = -12 ln|1 - x^2| + C

Passo 9

Juntando tudo:
integral x^31 - x^2 dx = -x^22 - 12 ln|1 - x^2| + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
x^22 ln (1 - x1 + x) - (-x^22 - 12 ln|1 - x^2|) + C
Simplificando:
x^22 ln (1 - x1 + x) + x^22 + 12 ln|1 - x^2| + C

Resposta

integral x ln (1 - x1 + x) dx = x^22 ln (1 - x1 + x) + x^22 + 12 ln|1 - x^2| + C

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