Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Essa fórmula nos ajuda a dividir a integral em partes mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual parte da nossa integral será e qual será . Vamos escolher:
Isso significa que vamos derivar e integrar .

Passo 4

Calculando , a derivada de :
Usamos a regra da derivada do logaritmo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos para encontrar :

Passo 6

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo , e :
Simplificando a integral:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a integral restante:
Podemos dividir por :
Portanto:
Então, a integral fica:

Passo 8

Calculando cada parte:
E para a segunda parte, fazemos uma substituição:
Então:

Passo 9

Juntando tudo:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(a) decompondo as frações nos itens e numa soma de frações;
(b) usando a substituição ou (usar a fato de que ) no item ;