Decomponha o polinômio P(x) = x^4 + 1 em fatores do grau com coeficientes reais.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para decompor o polinômio em fatores de segundo grau com coeficientes reais. Isso faz parte da matéria de álgebra, especificamente da fatoração de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois polinômios quadráticos que, quando multiplicados, resultem em .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que esses fatores quadráticos tenham a forma geral e , onde e são números que precisamos descobrir. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que façam a multiplicação desses dois fatores dar exatamente .

Passo 3

Vamos multiplicar os dois fatores:
Queremos que isso seja igual a . Comparando os coeficientes, temos as seguintes equações:

Passo 4

Da primeira equação , podemos expressar em termos de :
Substituindo na segunda equação :

Passo 5

Assim, temos dois conjuntos de valores para e :
  1. e
  2. e
Portanto, os fatores quadráticos são:

Resposta

A decomposição do polinômio em fatores de segundo grau com coeficientes reais é:

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