Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\sqrt{x y}$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação que a gente tem é:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de Bernoulli, que são um tipo especial de equações diferenciais não lineares. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar transformar a equação original em uma forma que seja mais fácil de resolver, usando uma mudança de variável adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos que
,
, e
porque
.
Passo 3
Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição para linearizar a equação. Vamos definir uma nova variável
da seguinte forma:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Agora, a equação está na forma linear:
Passo 5
Identificando
e
:
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicando a equação linear pelo fator integrante:
Isso se simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é: