Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\sqrt{x y}$$
dy/dx + y/x = raiz(xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação que a gente tem é:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de Bernoulli, que são um tipo especial de equações diferenciais não lineares. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar transformar a equação original em uma forma que seja mais fácil de resolver, usando uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos que , , e porque .

Passo 3

Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição para linearizar a equação. Vamos definir uma nova variável da seguinte forma:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Multiplicando toda a equação por para simplificar:
Agora, a equação está na forma linear:

Passo 5

Identificando e :
O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 6

Multiplicando a equação linear pelo fator integrante:
Isso se simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação é:

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