Sendo z = r * e^(i * theta), prove que |e^(i z)| = e^(-r sen(theta)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que e precisamos provar que . Vamos trabalhar com números complexos e usar propriedades das funções exponenciais complexas e dos módulos de números complexos.

Passo 2

Vamos começar calculando . Sabemos que , então:
Podemos reescrever e^(i * theta) usando a fórmula de Euler:
Então:
Aqui, usamos que .

Passo 3

Agora, vamos calcular usando a definição da exponencial de um número complexo. Para um número complexo geral , temos:
Aplicando isso para , obtemos:

Passo 4

Para encontrar o módulo de , usamos a propriedade de que o módulo de um produto é o produto dos módulos. Além disso, sabemos que o módulo de é 1, pois . Então:

Resposta

Portanto, .

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