Sabendo que F: R^2 R^2 é um operador linear e que
F(1,2)=(3,-1) e F(0,1)=(1,2)
achar F(x, y), onde (x, y) é um vetor genérico do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a imagem de um vetor genérico (x, y) através de um operador linear F: R^2 R^2. A gente sabe que F é linear e que temos as imagens de dois vetores específicos: F(1,2)=(3,-1) e F(0,1)=(1,2). Então, para resolver isso, vamos usar as propriedades dos operadores lineares e construir a expressão de F(x, y) com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear. Uma função F é linear se, para quaisquer vetores u e v e escalar c, valer:
F(u + v) = F(u) + F(v)
e
F(c cdot u) = c cdot F(u)
Isso quer dizer que a imagem de uma combinação linear de vetores é igual à combinação linear das imagens desses vetores.

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor genérico (x, y) como uma combinação linear dos vetores cujas imagens já conhecemos, ou seja, (1,2) e (0,1). Vamos tentar escrever (x, y) como:
(x, y) = a cdot (1,2) + b cdot (0,1)
onde a e b são escalares que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos expandir essa equação:
(x, y) = (a cdot 1 + b cdot 0, a cdot 2 + b cdot 1) = (a, 2a + b)
Comparando com (x, y), temos:
a = x
e
2a + b = y
Substituindo a = x na segunda equação:
2x + b = y Rightarrow b = y - 2x

Passo 5

Agora que encontramos a = x e b = y - 2x, podemos usar a propriedade da linearidade para calcular F(x, y):
F(x, y) = F(a cdot (1,2) + b cdot (0,1)) = a cdot F(1,2) + b cdot F(0,1)
Substituindo os valores:
F(x, y) = x cdot (3, -1) + (y - 2x) cdot (1, 2)

Passo 6

Vamos agora calcular cada componente:
Para a primeira coordenada:
3x + 1 cdot (y - 2x) = 3x + y - 2x = x + y
Para a segunda coordenada:
-1 cdot x + 2 cdot (y - 2x) = -x + 2y - 4x = -5x + 2y

Resposta

Então, o operador linear F aplicado a (x, y) é dado por:
F(x, y) = (x + y, -5x + 2y)

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