Sabendo que
é um operador linear e que
achar
, onde
é um vetor genérico do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a imagem de um vetor genérico
através de um operador linear
. A gente sabe que
é linear e que temos as imagens de dois vetores específicos:
e
. Então, para resolver isso, vamos usar as propriedades dos operadores lineares e construir a expressão de
com base nessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
e escalar
, valer:
e
Isso quer dizer que a imagem de uma combinação linear de vetores é igual à combinação linear das imagens desses vetores.
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor genérico
como uma combinação linear dos vetores cujas imagens já conhecemos, ou seja,
e
. Vamos tentar escrever
como:
onde
e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos expandir essa equação:
Comparando com
, temos:
e
Substituindo
na segunda equação:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos usar a propriedade da linearidade para calcular
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos agora calcular cada componente:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Resposta
Então, o operador linear
aplicado a
é dado por: