Nos items abaixo, estude a posiçâo relativa entre os objetos geométricos dados. No caso de interseçāo nāo vazia, forneça a equação geométrica que descreve tal intersecçāo.
a) A reta r passando por A=(1,3,2) e B=(0,-3,2) e a reta s passando por P=(0,5,1) e perpendicular ao plano pi dado em (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a posição relativa entre duas retas no espaço. A primeira reta, chamada de r, passa pelos pontos A=(1,3,2) e B=(0,-3,2). A segunda reta, s, passa pelo ponto P=(0,5,1) e é perpendicular a um plano pi que foi mencionado anteriormente. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever retas no espaço usando vetores e como determinar se elas se intersectam, são paralelas ou têm outra relação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta r. Como a reta passa pelos pontos A e B, podemos determinar o vetor diretor dela calculando a diferença entre esses pontos:
AB = B - A = (0-1, -3-3, 2-2) = (-1, -6, 0)
Então, a equação paramétrica da reta r é:
r: x = 1 - t y = 3 - 6t z = 2
onde t é o parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos descrever a reta s. Sabemos que ela passa pelo ponto P=(0,5,1) e é perpendicular ao plano pi. Se uma reta é perpendicular a um plano, o vetor diretor da reta é igual ao vetor normal do plano. No entanto, como não temos a equação do plano pi, vamos assumir que o vetor normal é n = (a, b, c). Então, a equação paramétrica da reta s será:
s: x = 0 + at y = 5 + bt z = 1 + ct
onde t é o parâmetro.

Passo 4

Para determinar a posição relativa entre as retas r e s, precisamos verificar se elas se intersectam, são paralelas ou se são secantes. Isso envolve resolver o sistema das equações paramétricas das retas para encontrar valores de t que satisfaçam ambas as equações simultaneamente.
Igualando as coordenadas das duas retas:
1 - t = at 3 - 6t = 5 + bt 2 = 1 + ct
Vamos resolver o sistema para encontrar t.

Passo 5

Da terceira equação:
2 = 1 + ct implies ct = 1 implies t = 1c
Substituindo t na primeira equação:
1 - 1c = a cdot 1c implies 1 = a + 1c implies c = a + 1
Agora, substituindo t = 1c na segunda equação:
3 - 6 cdot 1c = 5 + b cdot 1c implies 3 - 6c = 5 + bc
Multiplicando tudo por c para eliminar denominadores:
3c - 6 = 5c + b
Isolando b:
-6 = 2c + b implies b = -6 - 2c
Como já temos c = a + 1, substituindo:
b = -6 - 2(a + 1) = -6 - 2a - 2 = -2a - 8

Passo 6

Para que as retas se intersectem, as variáveis devem ter valores consistentes. Portanto, definições de a, b e c devem satisfazer as relações encontradas:
c = a + 1 b = -2a - 8
Sem valores específicos para a, b e c, não podemos determinar uma interseção exata. Isso indica que, dependendo dos valores de a, b e c, as retas podem ser paralelas ou se interceptarem em um ponto específico.

Resposta

As retas r e s se intersectam se os parâmetros a, b e c satisfizerem as relações c = a + 1 e b = -2a - 8. Caso contrário, as retas são paralelas ou não se interceptam. A equação geométrica da interseção, quando existe, é dada pelas equações paramétricas:
x = 1 - t = at y = 3 - 6t = 5 + bt z = 2 = 1 + ct
com c = a + 1 e b = -2a - 8.

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