Nos items abaixo, estude a posiçâo relativa entre os objetos geométricos dados. No caso de interseçāo nāo vazia, forneça a equação geométrica que descreve tal intersecçāo.
a) A reta passando por e e a reta passando por e perpendicular ao plano dado em (1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a posição relativa entre duas retas no espaço. A primeira reta, chamada de , passa pelos pontos e . A segunda reta, , passa pelo ponto e é perpendicular a um plano que foi mencionado anteriormente. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever retas no espaço usando vetores e como determinar se elas se intersectam, são paralelas ou têm outra relação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta . Como a reta passa pelos pontos e , podemos determinar o vetor diretor dela calculando a diferença entre esses pontos:
Então, a equação paramétrica da reta é:
onde t é o parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos descrever a reta s. Sabemos que ela passa pelo ponto P=(0,5,1) e é perpendicular ao plano pi. Se uma reta é perpendicular a um plano, o vetor diretor da reta é igual ao vetor normal do plano. No entanto, como não temos a equação do plano pi, vamos assumir que o vetor normal é n = (a, b, c). Então, a equação paramétrica da reta s será:
s: x = 0 + at y = 5 + bt z = 1 + ct
onde t é o parâmetro.
Passo 4
Para determinar a posição relativa entre as retas r e s, precisamos verificar se elas se intersectam, são paralelas ou se são secantes. Isso envolve resolver o sistema das equações paramétricas das retas para encontrar valores de t que satisfaçam ambas as equações simultaneamente.
Igualando as coordenadas das duas retas:
1 - t = at 3 - 6t = 5 + bt 2 = 1 + ct
Vamos resolver o sistema para encontrar t.
Passo 5
Da terceira equação:
2 = 1 + ct implies ct = 1 implies t = 1c
Substituindo t na primeira equação:
1 - 1c = a cdot 1c implies 1 = a + 1c implies c = a + 1
Agora, substituindo t = 1c na segunda equação:
3 - 6 cdot 1c = 5 + b cdot 1c implies 3 - 6c = 5 + bc
Multiplicando tudo por c para eliminar denominadores:
3c - 6 = 5c + b
Isolando b:
-6 = 2c + b implies b = -6 - 2c
Como já temos c = a + 1, substituindo:
b = -6 - 2(a + 1) = -6 - 2a - 2 = -2a - 8
Passo 6
Para que as retas se intersectem, as variáveis devem ter valores consistentes. Portanto, definições de a, b e c devem satisfazer as relações encontradas:
c = a + 1 b = -2a - 8
Sem valores específicos para a, b e c, não podemos determinar uma interseção exata. Isso indica que, dependendo dos valores de a, b e c, as retas podem ser paralelas ou se interceptarem em um ponto específico.
Resposta
As retas r e s se intersectam se os parâmetros a, b e c satisfizerem as relações c = a + 1 e b = -2a - 8. Caso contrário, as retas são paralelas ou não se interceptam. A equação geométrica da interseção, quando existe, é dada pelas equações paramétricas: