Decomponha o vetor v=5 i+3 j-5 k como combinação linear dos vetores u1=3 i-4 j, u2=4 j-k e u3=5 i-3 k cdot v=5220 u1+6720 u2+1120 u3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente decompor o vetor v = au1 + bu2 + cu3 como uma combinação linear dos vetores , e . Ou seja, precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações lineares, já que estamos lidando com combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear para cada componente 5i + 3j - 5k = a(3i - 4j) + b(4j - k) + c(5i - 3k) , 5i + 3j - 5k = (3a + 5c)i + (-4a + 4b)j + (-b - 3c)k e :
Agora, distribuímos os coeficientes:

Passo 3

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores dos dois lados da equação:
Para 5 = 3a + 5c :
3 = -4a + 4b
Para -5 = -b - 3c :
3a + 5c = 5 -4a + 4b = 3 -b - 3c = -5
Para :
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
-b - 3c = -5 implies b + 3c = 5 implies b = 5 - 3c
Agora, substituímos -4a + 4(5 - 3c) = 3 -4a + 20 - 12c = 3 -4a - 12c = 3 - 20 -4a - 12c = -17 implies 4a + 12c = 17 na segunda equação:
a + 3c = 174
Podemos simplificar dividindo por 4:

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
3a + 5c = 5 a + 3c = 174
Vamos resolver a segunda equação para a = 174 - 3c :
3(174 - 3c) + 5c = 5 514 - 9c + 5c = 5 514 - 4c = 5
Substituímos -4c = 5 - 514 = 204 - 514 = -314 implies c = 3116 na primeira equação:
Subtraímos de ambos os lados:

Passo 6

Agora que temos a = 174 - 3(3116) = 174 - 9316 = 6816 - 9316 = -2516 , voltamos para encontrar b = 5 - 3c = 5 - 3(3116) = 5 - 9316 = 8016 - 9316 = -1316 :
E finalmente, encontramos :

Resposta

Portanto, o vetor v = -2516u1 - 1316u2 + 3116u3 pode ser decomposto da seguinte forma:

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