Sejam u e v dois vetores l.i., r a reta que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor u e s a reta que passa pelo ponto B é paralela ao vetor v. Uma vez que (u, v, u wed>= v) é base para V^3, temos que existem alpha, beta, gamma in R tais que A B=alpha u+beta v+gamma u wed>= v. Mostre que:
(1) gamma=[A B, u, v]|u wed>= v|^2 e gamma u wed>= v=proju wed>= v A B
(2) se P=A+alpha u e Q=B-beta v, então P in r, Q in s e P Q é ortogonal a r e s.
Conclua que a distância entre as retas r e s é |[A B, u, v]||u wed>= v|. Discuta a situação na qual [A B, u, v]=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , que são lineares e independentes. Temos também duas retas: , que passa pelo ponto e é paralela a , e , que passa pelo ponto e é paralela a . Como forma uma base para , isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Aqui, a gente precisa mostrar algumas propriedades envolvendo os coeficientes , e que aparecem na expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de gamma = [AB, u, v]|u wed>= v|^2 . Sabemos que pode ser decomposto nos vetores , e . O coeficiente é o que multiplica o vetor . Para isolá-lo, usamos o produto misto, que é uma ferramenta útil para encontrar componentes em direções perpendiculares.
A fórmula para é dada por:
Aqui, representa o produto misto entre os vetores , e , e é o quadrado da norma do produto vetorial .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que projb a = a cdot b|b|^2 b é a projeção de gamma u wed>= v = proju wed>= v AB na direção de . A projeção de um vetor na direção de um vetor é dada por:
No nosso caso, e . Observando a fórmula que encontramos para , vemos que:
Ou seja, realmente representa a parte de que está na direção de .

Passo 4

Agora, vamos definir os pontos PQ cdot u = 0 e PQ cdot v = 0 e de forma que e . Queremos mostrar que está na reta , está na reta , e que o vetor é ortogonal às retas e .
Como , ele está na reta porque está a partir de seguindo a direção de . Similarmente, está na reta porque parte de na direção oposta de .
Para mostrar que é ortogonal a e , precisamos verificar que o produto escalar de com e com é zero:
Isso confirma que é perpendicular às direções das retas e .

Passo 5

Finalmente, para encontrar a distância entre as retas Distância = |[AB, u, v]||u wed>= v| e , usamos a fórmula que relaciona o produto misto com a norma do produto vetorial:
â
Essa fórmula nos dá a distância mínima entre as duas retas, que é a magnitude da projeção de na direção perpendicular às retas.
Além disso, se , isso significa que o produto misto é zero, indicando que está no mesmo plano definido por e . Nesse caso, as retas e são coplanares, e a distância entre elas é zero, ou seja, elas se intersectam ou são paralelas coincidentes.

Resposta

A distância entre as retas e é dada por . Além disso, se , as retas e são coplanares, ou seja, elas se intersectam ou são paralelas coincidindo.

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