Sejam e dois vetores l.i., a reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor a reta que passa pelo ponto é paralela ao vetor . Uma vez que é base para , temos que existem tais que . Mostre que:
(1) gamma=[A B, u, v]|u wed>= v|^2 e gamma u wed>= v=proju wed>= v A B
(2) se P=A+alpha u e Q=B-beta v, então P in r, Q in s e P Q é ortogonal a r e s.
Conclua que a distância entre as retas r e s é |[A B, u, v]||u wed>= v|. Discuta a situação na qual [A B, u, v]=0.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , que são lineares e independentes. Temos também duas retas: , que passa pelo ponto e é paralela a , e , que passa pelo ponto e é paralela a . Como forma uma base para , isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Aqui, a gente precisa mostrar algumas propriedades envolvendo os coeficientes , e que aparecem na expressão .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de gamma = [AB, u, v]|u wed>= v|^2 . Sabemos que pode ser decomposto nos vetores , e . O coeficiente é o que multiplica o vetor . Para isolá-lo, usamos o produto misto, que é uma ferramenta útil para encontrar componentes em direções perpendiculares.
A fórmula para é dada por:
Aqui, representa o produto misto entre os vetores , e , e é o quadrado da norma do produto vetorial .
Passo 3
Agora, vamos mostrar que projb a = a cdot b|b|^2 b é a projeção de gamma u wed>= v = proju wed>= v AB na direção de . A projeção de um vetor na direção de um vetor é dada por:
No nosso caso, e . Observando a fórmula que encontramos para , vemos que:
Ou seja, realmente representa a parte de que está na direção de .
Passo 4
Agora, vamos definir os pontos PQ cdot u = 0 e PQ cdot v = 0 e de forma que e . Queremos mostrar que está na reta , está na reta , e que o vetor é ortogonal às retas e .
Como , ele está na reta porque está a partir de seguindo a direção de . Similarmente, está na reta porque parte de na direção oposta de .
Para mostrar que é ortogonal a e , precisamos verificar que o produto escalar de com e com é zero:
Isso confirma que é perpendicular às direções das retas e .
Passo 5
Finalmente, para encontrar a distância entre as retas Distância = |[AB, u, v]||u wed>= v| e , usamos a fórmula que relaciona o produto misto com a norma do produto vetorial:
â
Essa fórmula nos dá a distância mínima entre as duas retas, que é a magnitude da projeção de na direção perpendicular às retas.
Além disso, se , isso significa que o produto misto é zero, indicando que está no mesmo plano definido por e . Nesse caso, as retas e são coplanares, e a distância entre elas é zero, ou seja, elas se intersectam ou são paralelas coincidentes.
Resposta
A distância entre as retas e é dada por . Além disso, se , as retas e são coplanares, ou seja, elas se intersectam ou são paralelas coincidindo.