Qual o ponto da reta , que está no plano ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida por uma equação paramétrica e um plano definido por uma equação cartesiana. A missão é encontrar o ponto que está na reta e, ao mesmo tempo, está dentro desse plano. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas e planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos. A reta é dada por:
Aqui, é um ponto que está na reta, e é o vetor diretor da reta. O é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.

Passo 3

O plano é dado pela equação:
Isso significa que qualquer ponto que satisfaz essa equação está no plano.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que o ponto na reta também esteja no plano. Para isso, vamos substituir as expressões para , e da reta na equação do plano.
Primeiro, da equação da reta:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na equação do plano:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :

Passo 8

Com o valor de encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto:

Resposta

O ponto da reta que está no plano é .

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Decomponha o vetor como combinação linear dos vetores , e
Sejam e dois vetores l.i., a reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor a reta que passa pelo ponto é paralela ao vetor . Uma vez que é base para , temos que existem tais que . Mostre que:
(1) e
(2) se e , então e é ortogonal a e .
Conclua que a distância entre as retas e s é . Discuta a situação na qual .
Sejam e
c) obtenha então dois vetores ortonormais e coplanares com e e
Sejam os pontos e .
b) Calcule o comprimento da altura do triângulo ABC , relativa ao vértice B .