Qual o ponto da reta s: X=(-1,3,3)+lambda(-1,2,3)(lambda in R), que está no plano pi: x+ y+z=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida por uma equação paramétrica e um plano definido por uma equação cartesiana. A missão é encontrar o ponto que está na reta e, ao mesmo tempo, está dentro desse plano. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre equações de retas e planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos. A reta X = (-1, 3, 3) + lambda (-1, 2, 3) é dada por:
Aqui, é um ponto que está na reta, e é o vetor diretor da reta. O é um parâmetro que pode assumir qualquer valor real.

Passo 3

O plano x + y + z = 1 é dado pela equação:
Isso significa que qualquer ponto que satisfaz essa equação está no plano.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o valor de x = -1 - lambda que faz com que o ponto na reta também esteja no plano. Para isso, vamos substituir as expressões para y = 3 + 2lambda , z = 3 + 3lambda e da reta na equação do plano.
Primeiro, da equação da reta:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na equação do plano:
x + y + z = (-1 - lambda) + (3 + 2lambda) + (3 + 3lambda) = 1

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
-1 - lambda + 3 + 2lambda + 3 + 3lambda = 1
(-1 + 3 + 3) + (-lambda + 2lambda + 3lambda) = 1
5 + 4lambda = 1

Passo 7

Agora, vamos resolver para 4lambda = 1 - 5 :
4lambda = -4
lambda = -1

Passo 8

Com o valor de x = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto:
y = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1
z = 3 + 3(-1) = 3 - 3 = 0

Resposta

O ponto da reta que está no plano é .

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