Escreva as equações cartesiana e paramétricas do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações cartesianas e paramétricas de um plano que passa pela origem e é paralelo ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se eles não se interceptam e possuem a mesma direção. Isso também significa que eles têm o mesmo vetor normal.
Passo 3
Na equação geral de um plano , o vetor normal é dado por . Então, para o plano dado , o vetor normal é .
Passo 4
Como o plano que queremos encontrar é paralelo ao plano dado, ele terá o mesmo vetor normal . Além disso, sabemos que esse plano passa pela origem, que é o ponto .
Passo 5
A equação cartesiana de um plano passando por um ponto e com vetor normal é dada por:
Como nosso ponto é a origem , substituindo na fórmula, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. Para isso, precisamos de um ponto no plano (a origem) e de dois vetores diretores que estejam no plano.
Passo 7
Sabemos que o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Vamos encontrar dois vetores diretores e tais que e .
Passo 8
Escolha valores para e e resolva para de modo que o produto escalar seja zero. Por exemplo:
Para :
Vamos escolher , .
Então, .
Assim, .
Para :
Vamos escolher , .
Então, .
Assim, .
Passo 9
Agora, podemos escrever as equações paramétricas do plano usando o ponto e os vetores diretores e :
onde e são parâmetros reais.
Resposta
A equação cartesiana do plano é x = t y = s z = 53t + 13s , e as equações paramétricas são: