Escreva as equações cartesiana e paramétricas do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 5 x+y-3 z+6=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações cartesianas e paramétricas de um plano que passa pela origem e é paralelo ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se eles não se interceptam e possuem a mesma direção. Isso também significa que eles têm o mesmo vetor normal.

Passo 3

Na equação geral de um plano , o vetor normal é dado por . Então, para o plano dado , o vetor normal é .

Passo 4

Como o plano que queremos encontrar é paralelo ao plano dado, ele terá o mesmo vetor normal . Além disso, sabemos que esse plano passa pela origem, que é o ponto .

Passo 5

A equação cartesiana de um plano passando por um ponto A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e com vetor normal 5(x - 0) + 1(y - 0) - 3(z - 0) = 0 é dada por:
5x + y - 3z = 0
Como nosso ponto é a origem , substituindo na fórmula, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. Para isso, precisamos de um ponto no plano (a origem) e de dois vetores diretores que estejam no plano.

Passo 7

Sabemos que o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Vamos encontrar dois vetores diretores e tais que e .

Passo 8

Escolha valores para e e resolva para de modo que o produto escalar seja zero. Por exemplo:
Para :
  • Vamos escolher , .
  • Então, .
  • Assim, .
Para :
  • Vamos escolher , .
  • Então, .
  • Assim, .

Passo 9

Agora, podemos escrever as equações paramétricas do plano usando o ponto x = 0 + 1 cdot t + 0 cdot s = t y = 0 + 0 cdot t + 1 cdot s = s z = 0 + 53 cdot t + 13 cdot s = 53t + 13s e os vetores diretores e :
onde e são parâmetros reais.

Resposta

A equação cartesiana do plano é x = t y = s z = 53t + 13s , e as equações paramétricas são:
onde e são números reais.

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