(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.3 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos uma matriz de ordem 3 e uma igualdade que relaciona com e a matriz identidade . O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes inversas e algumas propriedades de matrizes. Precisamos mostrar que é invertível e descobrir qual é a sua inversa usando a igualdade fornecida.
Passo 2
Para mostrar que A cdot A^-1 = I3 é invertível, precisamos encontrar uma matriz A^2 = 3A - 2I3 tal que:
A igualdade que temos é:
Vamos usar essa relação para manipular e descobrir .
Passo 3
Vamos reorganizar a igualdade dada para isolar termos envolvendo A^2 - 3A = -2I3 . Começamos subtraindo de ambos os lados da equação:
Passo 4
Agora, podemos fatorar A(A - 3I3) = -2I3 no lado esquerdo da equação:
Nosso objetivo é expressar a matriz identidade em termos de para encontrar .
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados da equação por A(A - 3I3) = -2I3 para isolar -12A(A - 3I3) = I3 :
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Agora, observamos que a matriz identidade A^-1 = -12(A - 3I3) está expressa como A^-1 = 32I3 - 12A vezes alguma combinação de matrizes. Queremos que isso fique na forma . Então, podemos identificar que:
Simplificando:
Resposta
A matriz A^-1 = 32I3 - 12A é invertível, e sua inversa é: