(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.3 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos uma matriz de ordem 3 e uma igualdade que relaciona com e a matriz identidade . O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes inversas e algumas propriedades de matrizes. Precisamos mostrar que é invertível e descobrir qual é a sua inversa usando a igualdade fornecida.
Passo 2
Para mostrar que é invertível, precisamos encontrar uma matriz tal que:
A igualdade que temos é:
Vamos usar essa relação para manipular e descobrir .
Passo 3
Vamos reorganizar a igualdade dada para isolar termos envolvendo . Começamos subtraindo de ambos os lados da equação:
Passo 4
Agora, podemos fatorar no lado esquerdo da equação:
Nosso objetivo é expressar a matriz identidade em termos de para encontrar .
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados da equação por para isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Agora, observamos que a matriz identidade está expressa como vezes alguma combinação de matrizes. Queremos que isso fique na forma . Então, podemos identificar que: