(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.3 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Temos uma matriz de ordem 3 e uma igualdade que relaciona com e a matriz identidade . O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes inversas e algumas propriedades de matrizes. Precisamos mostrar que é invertível e descobrir qual é a sua inversa usando a igualdade fornecida.

Passo 2

Para mostrar que é invertível, precisamos encontrar uma matriz tal que:
A igualdade que temos é:
Vamos usar essa relação para manipular e descobrir .

Passo 3

Vamos reorganizar a igualdade dada para isolar termos envolvendo . Começamos subtraindo de ambos os lados da equação:

Passo 4

Agora, podemos fatorar no lado esquerdo da equação:
Nosso objetivo é expressar a matriz identidade em termos de para encontrar .

Passo 5

Vamos dividir ambos os lados da equação por para isolar :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, observamos que a matriz identidade está expressa como vezes alguma combinação de matrizes. Queremos que isso fique na forma . Então, podemos identificar que:
Simplificando:

Resposta

A matriz é invertível, e sua inversa é:

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