Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y, z) in R^3 ; x=y e z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente verificar se um certo conjunto é um subespaço de . O conjunto dado é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele precisa cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições importantes:
  1. Contém o vetor zero: O vetor está em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer de e somar eles, o resultado também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor de e multiplicar por um número qualquer (escala), o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero está em .
  • ✔️
  • ✔️
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , digamos x1 + x2 = y1 + y2 e z1 + z2 = 0 + 0 = 0 , e somar eles:
Como tem e , temos:
  • e
  • e
Então:
Portanto, também satisfaz e , ou seja, está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de c cdot (x, y, z) = (c x, c y, c z) , , e multiplicar por um escalar :
Como tem e , temos:
  • (já que )
Portanto, também satisfaz e , ou seja, está em .

Resposta

O conjunto satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial. Portanto, é um subespaço de .

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