Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente verificar se um certo conjunto é um subespaço de
. O conjunto dado é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições importantes:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer de
e somar eles, o resultado também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor de
e multiplicar por um número qualquer (escala), o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero
está em
.
-
→ ✔️ -
✔️
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de
, digamos
e
, e somar eles:
Como
tem
e
, temos:
-
e -
e
Então:
Portanto,
também satisfaz
e
, ou seja, está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de
,
, e multiplicar por um escalar
:
Como
tem
e
, temos:
-
(já que ) -
Portanto,
também satisfaz
e
, ou seja, está em
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial. Portanto,
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Decomponha o vetor
como soma de dois vetores
e
, com
linearmente dependentes e
ortogonal a estes dois últimos.
Resposta: e
Resposta:
(Matrizes com o quadrado nulo) Seja
; seja
Mat
tal que
.
17.2 Mostrar que a matriz é invertível.
17.2 Mostrar que a matriz
(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.3 .
19.3
Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?