Decomponha o vetor w=(-1,-3,2) como soma de dois vetores w1, w2, com w1 paralelo ao vetor (0,1,3) e w2 ortogonal a este último.
Resposta: w1=(0, 310, 910) e w2=(-1,-3310, 1110)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos o vetor w = (-1, -3, 2) e precisamos decompor ele em dois vetores: w1 e w2. A condição é que w1 seja paralelo ao vetor (0, 1, 3) e que w2 seja ortogonal a esse mesmo vetor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos, ortogonais e decomposição vetorial.

Passo 2

Primeiro, como w1 é paralelo a (0, 1, 3), isso significa que w1 é um múltiplo escalar desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de k. Assim, podemos escrever:
w1 = k cdot (0, 1, 3) = (0, , k, , 3k)

Passo 3

Sabemos que a soma dos vetores w1 e w2 deve ser igual a w. Então:
w = w1 + w2 implies w2 = w - w1 = (-1, -3, 2) - (0, , k, , 3k) = (-1, -3 - k, , 2 - 3k)

Passo 4

Como w2 é ortogonal a (0, 1, 3), o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos calcular esse produto:
w2 cdot (0, 1, 3) = 0
Substituindo w2:
(-1) cdot 0 + (-3 - k) cdot 1 + (2 - 3k) cdot 3 = 0
Simplificando:
0 + (-3 - k) + (6 - 9k) = 0 implies 3 - 10k = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para encontrar k:
3 - 10k = 0 implies 10k = 3 implies k = 310

Passo 6

Com o valor de k encontrado, podemos determinar w1 e w2:
w1 = (0, 310, 910)
w2 = (-1, -3 - 310, 2 - 910) = (-1, -3310, 1110)

Resposta

w1=(0, 310, 910) e w2=(-1,-3310, 1110)

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