Ueilizando o conceito de produto escelar, encontre a área do paralelogramo formado pelos vetores u=(2,1,0) e v=(2,2,1). Considere que a unidade dos vetores scia centimetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área do paralelogramo formado pelos vetores u = (2,1,0) e v = (2,2,1) usando o conceito de produto escalar. Para isso, vamos precisar calcular as magnitudes dos vetores, o produto escalar entre eles e, a partir disso, determinar o ângulo entre eles para finalmente achar a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A magnitude de um vetor a = (ax, ay, az) é dada por:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Então, para u = (2,1,0):
|u| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5
E para v = (2,2,1):
|v| = raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Aplicando os valores:
u cdot v = (2)(2) + (1)(2) + (0)(1) = 4 + 2 + 0 = 6

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos encontrar o cosseno do ângulo theta entre os vetores usando a fórmula:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que já calculamos:
cos(theta) = 6raiz5 cdot 3 = 63raiz5 = 2raiz5

Passo 5

Para encontrar o seno do ângulo theta, usamos a relação trigonométrica:
sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta)
Calculando:
sin(theta) = raiz1 - (2raiz5)^2 = raiz1 - 45 = raiz15 = 1raiz5

Passo 6

Agora, a área A do paralelogramo formado pelos vetores u e v é dada por:
A = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Substituindo os valores:
A = raiz5 cdot 3 cdot 1raiz5 = 3

Resposta

A área do paralelogramo formado pelos vetores u e v é 3 centímetros quadrados.

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