Ueilizando o conceito de produto escelar, encontre a área do paralelogramo formado pelos vetores
. Considere que a unidade dos vetores scia centimetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área do paralelogramo formado pelos vetores
e
usando o conceito de produto escalar. Para isso, vamos precisar calcular as magnitudes dos vetores, o produto escalar entre eles e, a partir disso, determinar o ângulo entre eles para finalmente achar a área do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A magnitude de um vetor
é dada por:
Então, para
:
E para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar é dado por:
Aplicando os valores:
Passo 4
Com o produto escalar e as magnitudes, podemos encontrar o cosseno do ângulo
entre os vetores usando a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 5
Para encontrar o seno do ângulo
, usamos a relação trigonométrica:
Calculando:
Passo 6
Agora, a área
do paralelogramo formado pelos vetores
e
é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A área do paralelogramo formado pelos vetores
e
é
centímetros quadrados.