Decomponha o vetor u=(10,2,5) em duas componentes, isto é u=v+w, sendo uma na direção do vetor a=(3,0,4) e a outra ortogonal ao vetor a.

Passo 1

Vamos decompor o vetor em duas partes: uma na direção do vetor e outra que é perpendicular a . Para fazer isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a projeção de Proja u = ( u cdot aa cdot a ) a na direção de . A projeção de em é dada pela fórmula:
Aqui, representa o produto escalar entre e , e é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot a = (10)(3) + (2)(0) + (5)(4) = 30 + 0 + 20 = 50 :
a cdot a = (3)^2 + (0)^2 + (4)^2 = 9 + 0 + 16 = 25
E o produto escalar :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Proja u = ( 5025 ) a = 2a = 2 times (3, 0, 4) = (6, 0, 8)
Então, a componente de na direção de é .

Passo 5

Para encontrar a componente de w = u - v = (10, 2, 5) - (6, 0, 8) = (4, 2, -3) que é perpendicular a , subtraímos a projeção de na direção de do próprio vetor :
Assim, é a componente de que é ortogonal a .

Resposta

A decomposição de v = (6, 0, 8) é w = (4, 2, -3) , onde
e

Exercícios relacionados