Decomponha o vetor v=(1,2,4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano de equação X=(1,1,0)+lambda(1,0,1)+mu(0,1,-1)(lambda, mu in R) e outra paralela à reta de equação X=(0,0,0)+ v(2,1,0)(v in R).

Passo 1

Então, você tem o vetor e precisa decompor ele em duas partes:
  1. Uma parte que seja paralela ao plano definido por .
  2. Outra parte que seja paralela à reta definida por .
Para resolver isso, vamos precisar entender vetores paralelos a planos e retas, além de usar um pouco de álgebra linear para encontrar os componentes corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. O plano é dado por dois vetores diretores: n = d1 times d2 = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 = (0 cdot (-1) - 1 cdot 1)i - (1 cdot (-1) - 1 cdot 0)j + (1 cdot 1 - 0 cdot 0)k = (-1)i + (1)j + (1)k e .
Para encontrar o vetor normal , fazemos o produto vetorial desses dois vetores diretores:
Então, .

Passo 3

Agora, queremos decompor v1 cdot n = 0 em duas partes: v2 = k cdot (2, 1, 0) paralela ao plano e paralela à reta.
Sabemos que .
Como é paralela ao plano, ela deve ser perpendicular ao vetor normal . Portanto, o produto escalar de e deve ser zero:
Além disso, é paralela à reta, então pode ser escrita como um múltiplo do vetor diretor da reta :
onde é um escalar que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir (1, 2, 4) = v1 + k cdot (2, 1, 0) na equação v1 = (1, 2, 4) - k cdot (2, 1, 0) = (1 - 2k, 2 - k, 4) :
v1 cdot n = 0
Isso implica que:
(1 - 2k)(-1) + (2 - k)(1) + (4)(1) = 0
Agora, aplicamos a condição de que -1 + 2k + 2 - k + 4 = 0 (2k - k) + (-1 + 2 + 4) = 0 k + 5 = 0 k = -5 é perpendicular a :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora que encontramos v2 = -5 cdot (2, 1, 0) = (-10, -5, 0) , podemos determinar v1 = (1, 2, 4) - (-10, -5, 0) = (1 + 10, 2 + 5, 4 + 0) = (11, 7, 4) :
E então, é:

Resposta

A decomposição do vetor v = v1 + v2 = (11, 7, 4) + (-10, -5, 0) é:
Onde:
  • é paralela ao plano.
  • é paralela à reta.

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