Determinar o valor de
para que seja de
a medida do ângulo entre as retas
e
nos seguintes casos:
(a)
e
;
(b)
e
: eixo
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre as retas
e
seja de
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do ângulo entre duas retas no espaço.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das retas
e
. A reta
está representada pelas relações
, o que parece ser uma forma de igualdade das direções. Vamos interpretar isso como os coeficientes do vetor diretor.
Passo 3
Assumindo que a equação da reta
é
, o vetor diretor
seria
.
Passo 4
Agora, para a reta
, temos as equações paramétricas:
Podemos reescrever essas equações na forma paramétrica:
Então, o vetor diretor
da reta
é
.
Passo 5
Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula:
Onde
é o ângulo entre as retas,
é o produto escalar, e
e
são as normas dos vetores diretores.
Passo 6
Sabemos que
, então:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas:
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicamos ambos os lados por :
Multiplicamos ambos os lados por
Simplificando
, mas para facilitar, vamos calcular numericamente:
Então:
Passo 9
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 10
Rearranjamos os termos:
Passo 11
Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 0.5:
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Passo 12
Agora, vamos para a parte (b). A reta
é dada por:
E a reta
é o eixo
, que tem direção ao longo do eixo
, ou seja, vetor diretor
.
Passo 13
O vetor diretor da reta
é
.
Passo 14
Usamos novamente a fórmula do ângulo entre duas retas:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas:
Passo 15
Substituindo na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 16
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 17
Rearranjando os termos:
Resposta
Para que o ângulo entre as retas seja de
:
a)
ou
b)
Exercícios relacionados
Determinar o valor de
para que o sistema
tenha:
mais de uma solução
tenha:
mais de uma solução
Obter as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) a reta passa por e é paralela a cada um dos planos
e
;
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta e paralela ao plano
.
(a) a reta passa por
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta
Verifique se a reta
está contida no plano
.
Decomponha o vetor
em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano de equação
e outra paralela à reta de equação
.