Determinar o valor de n para que seja de 30^circ a medida do ângulo entre as retas r1 e r2 nos seguintes casos:
(a) r1: 1-24=45=4 e r2:ly=n x+5 z=2 x-2;
(b) r1:ly=n x-1 z=2 x e r2 : eixo Oy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que o ângulo entre as retas e seja de . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do ângulo entre duas retas no espaço.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta está representada pelas relações , o que parece ser uma forma de igualdade das direções. Vamos interpretar isso como os coeficientes do vetor diretor.

Passo 3

Assumindo que a equação da reta é , o vetor diretor seria .

Passo 4

Agora, para a reta y = n x + 5 z = 2 x - 2 , temos as equações paramétricas:
x = t y = n t + 5 z = 2 t - 2
Podemos reescrever essas equações na forma paramétrica:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula:
cos(theta) = v1 cdot v2|v1| |v2|
Onde é o ângulo entre as retas, é o produto escalar, e e são as normas dos vetores diretores.

Passo 6

Sabemos que cos(30^circ) = v1 cdot v2|v1| |v2| , então:
v1 cdot v2 = 4 cdot 1 + 5 cdot n + 1 cdot 2 = 4 + 5n + 2 = 6 + 5n
Calculando o produto escalar:
|v1| = raiz4^2 + 5^2 + 1^2 = raiz16 + 25 + 1 = raiz42 |v2| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5
Calculando as normas:

Passo 7

Substituindo na fórmula:
cos(30^circ) = 6 + 5nraiz42 cdot raizn^2 + 5
Sabemos que raiz32 = 6 + 5nraiz42 cdot raizn^2 + 5 , então:

Passo 8

Agora, vamos resolver para raiz32 cdot raiz42 cdot raizn^2 + 5 = 6 + 5n :
Multiplicamos ambos os lados por raiz32 cdot raiz42 approx 1.7322 cdot 6.4807 approx 5.608 :
5.608 cdot raizn^2 + 5 = 6 + 5n
Simplificando , mas para facilitar, vamos calcular numericamente:
Então:

Passo 9

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(5.608)^2 (n^2 + 5) = (6 + 5n)^2 31.5 (n^2 + 5) = 36 + 60n + 25n^2 31.5n^2 + 157.5 = 36 + 60n + 25n^2

Passo 10

Rearranjamos os termos:
31.5n^2 - 25n^2 + 157.5 - 36 - 60n = 0 6.5n^2 - 60n + 121.5 = 0

Passo 11

Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 0.5:
13n^2 - 120n + 243 = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula:
n = 120 pm raiz120^2 - 4 cdot 13 cdot 2432 cdot 13
Calculando o discriminante:
De
Então:
n = 120 pm 4226
Isso dá duas soluções:
n1 = 120 + 4226 = 16226 = 6.23 n2 = 120 - 4226 = 7826 = 3

Passo 12

Agora, vamos para a parte (b). A reta y = n x - 1 z = 2x é dada por:
E a reta é o eixo , que tem direção ao longo do eixo , ou seja, vetor diretor .

Passo 13

O vetor diretor da reta é .

Passo 14

Usamos novamente a fórmula do ângulo entre duas retas:
cos(30^circ) = v1 cdot v2|v1| |v2|
Calculando o produto escalar:
v1 cdot v2 = 1 cdot 0 + n cdot 1 + 2 cdot 0 = n
Calculando as normas:
|v1| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raizn^2 + 5 |v2| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1

Passo 15

Substituindo na fórmula:
raiz32 = nraizn^2 + 5
Multiplicando ambos os lados por raiz32 cdot raizn^2 + 5 = n :

Passo 16

Elevando ao quadrado ambos os lados:
( raiz32 )^2 (n^2 + 5) = n^2 34 (n^2 + 5) = n^2 34n^2 + 154 = n^2

Passo 17

Rearranjando os termos:
n^2 - 34n^2 = 154 14n^2 = 154 n^2 = 15 n = raiz15 approx 3.872

Resposta

Para que o ângulo entre as retas seja de :
a) ou
b)

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