Determinar o valor de para que seja de a medida do ângulo entre as retas e nos seguintes casos:
(a) e ;
(b) e : eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que o ângulo entre as retas e seja de . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do ângulo entre duas retas no espaço.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta está representada pelas relações , o que parece ser uma forma de igualdade das direções. Vamos interpretar isso como os coeficientes do vetor diretor.

Passo 3

Assumindo que a equação da reta é , o vetor diretor seria .

Passo 4

Agora, para a reta , temos as equações paramétricas:
Podemos reescrever essas equações na forma paramétrica:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula:
Onde é o ângulo entre as retas, é o produto escalar, e e são as normas dos vetores diretores.

Passo 6

Sabemos que , então:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas:

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, vamos resolver para :
Multiplicamos ambos os lados por :
Simplificando , mas para facilitar, vamos calcular numericamente:
Então:

Passo 9

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 10

Rearranjamos os termos:

Passo 11

Simplificamos a equação dividindo todos os termos por 0.5:
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:

Passo 12

Agora, vamos para a parte (b). A reta é dada por:
E a reta é o eixo , que tem direção ao longo do eixo , ou seja, vetor diretor .

Passo 13

O vetor diretor da reta é .

Passo 14

Usamos novamente a fórmula do ângulo entre duas retas:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas:

Passo 15

Substituindo na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 16

Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 17

Rearranjando os termos:

Resposta

Para que o ângulo entre as retas seja de :
a) ou
b)

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Determinar o valor de para que o sistema

tenha:
mais de uma solução
Obter as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) a reta passa por e é paralela a cada um dos planos e ;
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta e paralela ao plano .
Verifique se a reta está contida no plano .
Decomponha o vetor em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano de equação e outra paralela à reta de equação .