A decomposição P A=L U de uma matriz 3 times 3 é dada por
P=[lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ], L=[ccc 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ] e U=[ccc 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 ]
(b) Obtenha a matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz sabendo que a decomposição é dada. Aqui, é uma matriz de permutação, é uma matriz triangular inferior, e é uma matriz triangular superior. Para resolver isso, vamos usar propriedades de matrizes e multiplicação para isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação A = P^-1 LU . Queremos encontrar , então precisamos isolar nessa equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de . Assim:
Como é uma matriz de permutação, sua inversa é simplesmente a transposta de , ou seja, .

Passo 3

Vamos encontrar P = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ou P^-1 = P^T = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 . Dada a matriz :
A transposta de é:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 , U = 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 e LU = 1 cdot 2 + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot 3 + 0 cdot (-2) + 0 cdot 0 & 1 cdot (-1) + 0 cdot 1 + 0 cdot 3 2 cdot 2 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 2 cdot 3 + 1 cdot (-2) + 0 cdot 0 & 2 cdot (-1) + 1 cdot 1 + 0 cdot 3 -1 cdot 2 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 & -1 cdot 3 + 0 cdot (-2) + 1 cdot 0 & -1 cdot (-1) + 0 cdot 1 + 1 cdot 3 :
LU = 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1 -2 & -3 & 4
Multiplicando por :
Calculando cada elemento:

Passo 5

Agora, multiplicamos A = P^-1 LU = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1 -2 & -3 & 4 por A = (0 cdot 2) + (0 cdot 4) + (1 cdot -2) & (0 cdot 3) + (0 cdot 4) + (1 cdot -3) & (0 cdot -1) + (0 cdot -1) + (1 cdot 4) (1 cdot 2) + (0 cdot 4) + (0 cdot -2) & (1 cdot 3) + (0 cdot 4) + (0 cdot -3) & (1 cdot -1) + (0 cdot -1) + (0 cdot 4) (0 cdot 2) + (1 cdot 4) + (0 cdot -2) & (0 cdot 3) + (1 cdot 4) + (0 cdot -3) & (0 cdot -1) + (1 cdot -1) + (0 cdot 4) para achar A = -2 & -3 & 4 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1 :
Multiplicando as matrizes:
Calculando cada elemento:

Resposta

A matriz A = -2 & -3 & 4 2 & 3 & -1 4 & 4 & -1 é:

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