Considere o sistema linear
& 2 x1+3 x2+4 x3=-2 & 3 x1+2 x2-x3=4 & 5 x1-4 x2+3 x3=8
(a) Resolva-a o pelo método de eliminação Gaussiana com pivoteamento parcial, trabalhando com arredondamento para dois dígitos significativos em cada operação.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis ( x1, x2, x3) e precisamos resolvê-lo usando o método de eliminação Gaussiana com pivoteamento parcial. Isso envolve transformar o sistema em uma forma triangular e, em seguida, resolver por substituição. Também vamos precisar trabalhar com arredondamento para dois dígitos significativos em cada operação.

Passo 2

Primeiro, organizamos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
2 & 3 & 4 & | & -2 3 & 2 & -1 & | & 4 5 & -4 & 3 & | & 8
O pivoteamento parcial envolve selecionar o maior elemento absoluto na coluna atual como pivô e, se necessário, trocar as linhas para melhorar a estabilidade numérica.

Passo 3

Começamos com a primeira coluna. Observamos os elementos abaixo do primeiro elemento (2): 3 e 5. O maior em valor absoluto é 5, que está na terceira linha. Então, trocamos a primeira e a terceira linha para usar 5 como nosso pivô.
Após a troca:
5 & -4 & 3 & | & 8 3 & 2 & -1 & | & 4 2 & 3 & 4 & | & -2

Passo 4

Agora, queremos eliminar os elementos abaixo do pivô (5) na primeira coluna. Usamos operações lineares para zerar esses elementos.
Para a segunda linha:
L2 = L2 - ( 35 ) L1
Calculando:
3 - ( 35 times 5 ) = 0
2 - ( 35 times (-4) ) = 2 + 2.4 = 4.4
-1 - ( 35 times 3 ) = -1 - 1.8 = -2.8
4 - ( 35 times 8 ) = 4 - 4.8 = -0.8
Arredondando para dois dígitos:
L2 = [0, 4.4, -2.8, |, -0.8]

Passo 5

Para a terceira linha:
L3 = L3 - ( 25 ) L1
Calculando:
2 - ( 25 times 5 ) = 0
3 - ( 25 times (-4) ) = 3 + 1.6 = 4.6
4 - ( 25 times 3 ) = 4 - 1.2 = 2.8
-2 - ( 25 times 8 ) = -2 - 3.2 = -5.2
Arredondando para dois dígitos:
L3 = [0, 4.6, 2.8, |, -5.2]

Passo 6

Agora, a matriz fica:
5 & -4 & 3 & | & 8 0 & 4.4 & -2.8 & | & -0.8 0 & 4.6 & 2.8 & | & -5.2
Passamos para a segunda coluna. Novamente, fazemos o pivoteamento parcial, escolhendo o maior elemento absoluto na segunda coluna das linhas restantes (4.4 e 4.6). O maior é 4.6, que está na terceira linha. Portanto, trocamos a segunda e a terceira linha.
Após a troca:
5 & -4 & 3 & | & 8 0 & 4.6 & 2.8 & | & -5.2 0 & 4.4 & -2.8 & | & -0.8

Passo 7

Agora, eliminamos o elemento abaixo do pivô (4.6) na segunda coluna.
Para a terceira linha:
L3 = L3 - ( 4.44.6 ) L2
Calculando o fator:
4.44.6 approx 0.96
Aplicando:
0 - 0 = 0
4.4 - (0.96 times 4.6) approx 4.4 - 4.4 = 0
-2.8 - (0.96 times 2.8) approx -2.8 - 2.7 = -5.5
-0.8 - (0.96 times (-5.2)) approx -0.8 + 5.0 = 4.2
Arredondando para dois dígitos:
L3 = [0, 0, -5.5, |, 4.2]

Passo 8

A matriz agora fica:
5 & -4 & 3 & | & 8 0 & 4.6 & 2.8 & | & -5.2 0 & 0 & -5.5 & | & 4.2
Agora, temos uma matriz triangular superior, e podemos resolver por substituição retroativa.

Passo 9

Começamos pela terceira equação:
-5.5x3 = 4.2
Resolvendo para x3:
x3 = 4.2-5.5 approx -0.764
Arredondando para dois dígitos:
x3 approx -0.76

Passo 10

Agora, substituímos x3 na segunda equação:
4.6x2 + 2.8x3 = -5.2
Substituindo x3:
4.6x2 + 2.8(-0.76) = -5.2
Calculando:
4.6x2 - 2.13 approx -5.2
Isolando x2:
4.6x2 approx -5.2 + 2.13 = -3.07
x2 approx -3.074.6 approx -0.668
Arredondando para dois dígitos:
x2 approx -0.67

Passo 11

Por fim, substituímos x2 e x3 na primeira equação:
5x1 - 4x2 + 3x3 = 8
Substituindo:
5x1 - 4(-0.67) + 3(-0.76) = 8
Calculando:
5x1 + 2.68 - 2.28 approx 8
5x1 approx 8 - 0.40 = 7.60
x1 approx 7.605 = 1.52

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:
x1 = 1.52, x2 = -0.67, x3 = -0.76

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