Usando eliminação de Gauss, verifique que o sistema linear
[ccc 1 & 4 & alpha 2 & -1 & 2 alpha & 3 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[l 6 3 5 ]
(a) possui uma única solução quando alpha=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente tem um sistema de equações lineares representado por uma matriz de coeficientes e um vetor de resultados. A questão pede pra gente usar a eliminação de Gauss pra verificar se, quando , esse sistema tem uma única solução. Para isso, vamos precisar manipular a matriz para deixá-la na forma triangular e ver se conseguimos resolver todas as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 1 & 4 & 0 2 & -1 & 2 0 & 3 & 1 x1 x2 x3 = 6 3 5 na matriz dos coeficientes e no vetor dos resultados. Assim, a matriz fica:

$$

$$

Passo 3

Agora, a ideia da eliminação de Gauss é transformar essa matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver as incógnitas, tipo uma escada. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, que já é 1, ótimo!

Passo 4

Vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, pegamos a segunda linha e subtraímos 2 vezes a primeira linha dela. Fazendo isso:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Calculando:
0 & -9 & 2 & | & -9
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Vamos agora zerar o elemento na terceira linha, primeira coluna, que já é 0. Então não precisamos fazer nada aqui. Nossa matriz atualizada é:
1 & 4 & 0 & | & 6 0 & -9 & 2 & | & -9 0 & 3 & 1 & | & 5

Passo 6

Agora vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos toda a segunda linha por -9:
Linha2 = Linha2 / (-9)
Isso resulta em:
0 & 1 & -29 & | & 1
Nossa matriz fica:
1 & 4 & 0 & | & 6 0 & 1 & -29 & | & 1 0 & 3 & 1 & | & 5

Passo 7

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, tiramos o 4 da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 4 * Linha2
Calculando:
1 & 0 & 89 & | & 2
0 & 0 & 53 & | & 2
1 & 0 & 89 & | & 2 0 & 1 & -29 & | & 1 0 & 0 & 53 & | & 2
Agora, a primeira linha fica:
Depois, tiramos o 3 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha2
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:

Passo 8

Por último, vamos resolver para na terceira linha. Temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, substituímos na segunda linha:
Calculando:
Então:
Finalmente, substituímos e na primeira linha:
Calculando:
Então:

Resposta

Quando x1 = 1415, x2 = 1915, x3 = 65 , o sistema linear possui uma única solução dada por:

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