Usando eliminação de Gauss, verifique que o sistema linear
(a) possui uma única solução quando .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente tem um sistema de equações lineares representado por uma matriz de coeficientes e um vetor de resultados. A questão pede pra gente usar a eliminação de Gauss pra verificar se, quando , esse sistema tem uma única solução. Para isso, vamos precisar manipular a matriz para deixá-la na forma triangular e ver se conseguimos resolver todas as incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir na matriz dos coeficientes e no vetor dos resultados. Assim, a matriz fica:
$$
$$
Passo 3
Agora, a ideia da eliminação de Gauss é transformar essa matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver as incógnitas, tipo uma escada. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, que já é 1, ótimo!
Passo 4
Vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, pegamos a segunda linha e subtraímos 2 vezes a primeira linha dela. Fazendo isso:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 5
Vamos agora zerar o elemento na terceira linha, primeira coluna, que já é 0. Então não precisamos fazer nada aqui. Nossa matriz atualizada é:
Passo 6
Agora vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos toda a segunda linha por -9:
Linha2 = Linha2 / (-9)
Isso resulta em:
Nossa matriz fica:
Passo 7
Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, tiramos o 4 da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 4 * Linha2
Calculando:
Agora, a primeira linha fica:
Depois, tiramos o 3 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha2
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 8
Por último, vamos resolver para na terceira linha. Temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, substituímos na segunda linha:
Calculando:
Então:
Finalmente, substituímos e na primeira linha:
Calculando:
Então:
Resposta
Quando , o sistema linear possui uma única solução dada por: