Usando eliminação de Gauss, verifique que o sistema linear
(a) possui uma única solução quando .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente tem um sistema de equações lineares representado por uma matriz de coeficientes e um vetor de resultados. A questão pede pra gente usar a eliminação de Gauss pra verificar se, quando , esse sistema tem uma única solução. Para isso, vamos precisar manipular a matriz para deixá-la na forma triangular e ver se conseguimos resolver todas as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na matriz dos coeficientes e no vetor dos resultados. Assim, a matriz fica:

$$

$$

Passo 3

Agora, a ideia da eliminação de Gauss é transformar essa matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver as incógnitas, tipo uma escada. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, que já é 1, ótimo!

Passo 4

Vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, pegamos a segunda linha e subtraímos 2 vezes a primeira linha dela. Fazendo isso:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Vamos agora zerar o elemento na terceira linha, primeira coluna, que já é 0. Então não precisamos fazer nada aqui. Nossa matriz atualizada é:

Passo 6

Agora vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos toda a segunda linha por -9:
Linha2 = Linha2 / (-9)
Isso resulta em:
Nossa matriz fica:

Passo 7

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, tiramos o 4 da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 4 * Linha2
Calculando:
Agora, a primeira linha fica:
Depois, tiramos o 3 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha2
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:

Passo 8

Por último, vamos resolver para na terceira linha. Temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, substituímos na segunda linha:
Calculando:
Então:
Finalmente, substituímos e na primeira linha:
Calculando:
Então:

Resposta

Quando , o sistema linear possui uma única solução dada por:

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Considere
Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação ;
(a) Resolva o sistema pelo método da eliminação de Gauss.
(b) Resolva o sistema utilizando a decomposição .
A decomposição de uma matriz é dada por
(b) Obtenha a matriz .