Deduza: CV=T(partial Spartial T)V

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para deduzir a relação . Isso está dentro do conteúdo de Termodinâmica, especificamente envolvendo calor específico a volume constante ( ) e entropia ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de calor específico, as propriedades das derivadas parciais e a relação entre energia interna e entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o calor específico a volume constante é definido como a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em uma unidade, mantendo o volume constante. Matematicamente, isso é expresso como:
CV = (partial Upartial T)V
Aqui, é a energia interna do sistema.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição de entropia ( dU = T dS - P dV ) na termodinâmica. A entropia é uma medida da desordem do sistema e está relacionada à energia dispersa. A variação da energia interna pode ser relacionada à entropia e à temperatura através da seguinte relação fundamental:
dU = T dS
Como estamos mantendo o volume constante ( ), a equação simplifica para:

Passo 4

Com isso, podemos expressar a derivada da energia interna em relação à temperatura a volume constante:
(partial Upartial T)V = T (partial Spartial T)V
Isso porque dUdT = T dSdT , então dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Finalmente, substituímos a expressão de CV = (partial Upartial T)V = T (partial Spartial T)V que vimos no Passo 2:

Resposta

Portanto, deduzimos que:
CV=T(partial Spartial T)V

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